K városból L városba és L városból M városba két-két út vezet. Hófúvás esetén minden út egymástól függetlenűl p valószÍnűséggel járhatatlan. Az Útinform szerint K-ból M-be nem lehet eljutni. Mi a valószÍnűsége, hogy K-ból L-be azért el lehet jutni?

4 lehetőség van:

A és B út is járhatatlan

Csak az A út járhatatlan

Csak a B út járhatatlan

Mind2 út járható

4 lehetőségből 3-szor lehetet eljutni,tehát 3/4 a megoldás

A szöveg szerint ugyaebár 4 út van:

KL1, KL2, LM1 és LM2

Minden út egymástól függetlenül p valószínűséggel járhatatlan.

Mivel 4 út van, és minden útnak 2-2 állapota, ezért összesen 16 állapot lehetséges.

Mindnek könnyen kiszámolható a valószínűsége.

Én most 1-el jelölöm, ha egy út járható és 0-val, ha nem.

Tehát a 16 lehetőség:

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

A sorok valószínűsége a 4 tag szorzata.

Ha a tag értéke 1, akkor (1-p), mert az út járható.

Ha a tag értéke 0, akkor p.

Pl ennek a valószínűsége: 1011 (1-p)^3*p

Na most a 16 esetből szűrjük ki azokat, ahol K-ból M-be nem lehet eljutni, azaz ahol vagy az első két szám mindegyike 0, vagy a második két szám mindegyike 0.

Ezek maradtak:

0000

0001

0010

0011

0100

1000

1100

A fentiek közül az egyik esemény bekövetkezett.

Melléírom a valószínűségeket is most már:

0000: p^4

0001: p^3*(1-p)

0010: p^3*(1-p)

0011: p^2*(1-p)^2

0100: p^3*(1-p)

1000: p^3*(1-p)

1100: p^2*(1-p)^2

Az összes valószínűség:

p^4 + 4* p^3*(1-p) + 2*p^2*(1-p)^2

Mi a valószínűsége, hogy K-ből L-be el lehet jutni: azok a jó esetek, ahol az első két számjegy nem 00.

0100: p^3*(1-p)

1000: p^3*(1-p)

1100: p^2*(1-p)^2

Ezek összege: 2* p^3*(1-p) + p^2*(1-p)^2

A keresett valószínűség a kettő hányadosa:

[2* p^3*(1-p) + p^2*(1-p)^2]/[p^4 + 4* p^3*(1-p) + 2*p^2*(1-p)^2]

p^2-el egyszerűsítve:

[2* p*(1-p) + (1-p)^2]/[p^2 + 4*p*(1-p) + 2*(1-p)^2]

Még alakítgassuk, hátha kiesik valami.

A számláló:

[2p-2p^2 + 1-2p+p^2 = 1-p^2

A nevező:

p^2 + 4p-4p^2 + 2-4p + 2p^2 = 2 - p^2

Az eredmény: (1-p^2) / (2-p^2)

Ha el nincs számolva.