Egy kertész három juhar-, négy tölgy- és öt nyírfát ültetett egy sorba véletlen sorrendben, mindegyik fát egyenlő valószínűséggel választva. Legyen m/n annak a valószínűsége, hogy nem kerül két nyírfa egymás mellé. Mennyi m+n?

Hmm, ez ha pontosan így szól a feladat, akkor becsapósnak tűnik. Ugyanis m/n nem definiált dolog: 2m/2n, 3m/3n stb. is ugyanúgy lehet, ezért a számláló plusz nevező szinte bármilyen értéket felvehet.

Ha ki kell számolni a valószínűséget:

Összes esetek száma:

Ez ismétléses permutáció: (3+4+5)! / (3!·4!·5!)

Kedvező esetek száma:

A 3 juhart és 4 tölgyet lerakhatjuk egymás mellé (3+4)!/(3!·4!) féle sorrendben. Mellettük illetve közöttük van 8 hely (2 a két szélen, 6 két fa között), ahová lerakhatunk max 1-1 nyírfát. Azt pedig, hogy melyik 5 helyet válasszuk a nyírfák számára, (8 alatt 5) féleképpen tehetjük meg. Vagyis a kedvező esetek száma:

(8 alatt 5)·(3+4)!/(3!·4!)

A valószínűség:

[ (8 alatt 5)·(3+4)!/(3!·4!) ] / [ (3+4+5)! / (3!·4!·5!) ]

= 8!/(3!·5!) · 7! / (3!·4!) · 3!·4!·5! / 12!

= 8!·7!·3!·4!·5! / (3!·5!·3!·4!·12!)

= 8!·7! / (3!·12!)

= 7! / (3!·12·11·10·9)

= 7·6·5·4 / (12·11·10·9)

= 7·4 / (2·11·2·9)

= 7 / 99