Melyik számból van több és miért?

Gondolj bele, hogy mondjuk 20ig melyikből van több.... pozitív egészekből: 2,4,6,8,10,12,14,16,18

10-el osztható pozitív egészekből: 10

Most ha végtelenig mennénk akkor is több lenne a pozitív egészekből

Ilyenkor arra kell gondolni, hogy egy 3-éves gyerek (aki nem ismeri a számokat) hogyan tudná belátni, hogy két tál cukorkából melyik tálban van több. A válasz az, hogy mindkét tálból kivesz 1-1 cukorkát, aztán megint, és ezt addig csinálja, amíg valamelyik tálból ki nem fogy a cukor, ekkor a másik tálban volt eredetileg több.

Itt is ugyanaz a helyzet, annyi különbséggel, hogy mivel végtelen sok szám van, ezért soha nem fognak elfogyni a számok. Az viszont igaz, hogy ha ezt az eljárást alkalmazzuk, akkor a kivett számok mindig ugyanannyian lesznek, tehát ha van egy eljárás, amivel mindig ugyanannyi lesz, akkor a két tálban/halmazban ugyanannyi cukorka/szám van.

Egy lehetséges eljárása következő:

1-10

2-20

3-30

4-40

.

.

.

Tehát általánosságban a k számhoz a 10k számot vesszük ki a halmazból. Ez azt jelenti, hogy mindegyik egész szám összepárosítható a tízszeresével, és ez fordítva is igaz értelemszerűen (lévén minden számnak 1 tízszerese van), tehát tudtunk olyan párosítást adni, hogy mindegyik számhoz pontosan 1 szám tartozik, tehát a két halmazban ugyanannyi szám van (megszámlálhatóan végtelen sok).

Definíció szerint két halmaz számossága egyenlő, hogyha a két halmaz elemei között létezik kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (tehát minden számnak pontosan 1 párja van). Ez itt megvalósul.

Egy kicsit nehezebb kérdés; melyikből van több; a (0;1) intervallumon található racionális számokból, vagy az (1;végtelen) intervallumon találhatóakból? Azt tudjuk, hogy mindkét halmazon végtelen sok szám található. (Segítség: itt is lehet alkalmazni azt, amit fent írtam, csak a kérdés az, hogyan).

Hogyan lenne már egyenlő a számosságuk?

Józan paraszti ésszel:

Pozitív egész számok: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...

10-el oszthatóak: 10, ...

Belátható, hogy két 10-el osztható szám között van még 9 egész szám, ergo abból van több. Akkor is ha végtelen sok számról beszélünk, mert minden tizedik lesz csak 10-el osztható.

Amiket párba tudsz állítani, azok ugyanannyian vannak.

Ezek is olyanok, mint azt előbb írták.

Más:

A végteleneknek többféle típusa van, attól, hogy végtelen sok eleme van A és B halmazoknak, attól még nem azonos a számosságuk. Pl. a valós és az egész számok különböző számosságúak, hiába végtelen sok elem van mindkettőben. (ld. Cantor-féle átlós módszer)

Igen, szerinted... Véges esetben tényleg így működik, végtelen esetben pedig azért nem működik így, mivel a végtelen és a „10-szer végtelen” egyenrangúak (nincs olyan, hogy valamelyik „jobban végtelen”).

Egyébként meg azt mondd már meg nekem, hogy ha az egész számokból több van, akkor hogyan lehet az, hogy a fentiek értelmében mindenkit párba lehet állítani? Mert ha valahol több van, akkor ott valakinek nem jut pár; itt mégis?

Amúgy írd be Google-be, hogy Cantor, és nézd meg, mit ad ki rá.

Ja, és nem ész nélkül kellene az embert lepontozni, ha valamihez nem értesz...