Ezt az egyes pontot hogy kell megoldani? (matematika)

Ez a feladat inkább arra hajaz, hogy a gyökök ismerete nélkül oldjuk meg az egyenleteket (jó, ennek szép gyökei vannak, de általában nem így van), de, ha a gyököket is ki akarjuk számolni, a feladat megoldható polinomosztás nélkül is; első körben sejtsük meg, hogy ennek a függvénynek egész gyökei vannak, ekkor alakítsuk át így az egyenletet:

x*(x^2-3)=-2

Mivel sejtésünk szerint x egész, ezért gyakorlatilag ezt kapjuk: egész*egész=egész, ez viszont csak úgy lehet, hogyha x|(-2), tehát x osztója a (-2)-nek. A (-2)-nek 4 osztója van: -2; -1; 1; 2, ezeket beírjuk x helyére, és azt látjuk, hogy az x=1 és x=-2 lesznek a megoldások. Mivel tudjuk, hogy egy harmadfokú polinomnak 3 gyöke van (és ha 2 valós, akkor a harmadik is kénytelen az lenni), ráadásul a főegyüttható 1, így csak egész lehet, viszont az egészek között csak 2 megoldást találtunk, így az egyik gyök kétszeres, tehát vagy (x-1)*(x+2)^2, vagy (x+2)*(x-1)^2 alakban lehet felírni (az algebra alaptételének értelmében), kibontás után kiderül, hogy az utóbbi lesz a nyertes. Tehát az egyenlet gyökei 1 és -2, az 1 pedig kétszeres gyök. Innen azért egy kicsit komplikálódik a feladat, mert ezek közül melyik x1, melyik x2 és melyik x3? Innen két lehetőség adódik; vagy végigszámoljuk az összes létező (3) lehetőséget, vagy belátjuk, hogy mindegy, hogy melyik melyik. Akárhogy is legyen, a mátrix determinánsát nem a kifejtési tétellel számoljuk ki, hanem a Sarrus-szabállyal:

[link]

Természetesen lehet a kifejtési tétel szerint is számolni:

[link] , viszont ágyúval verebet lőni a matematikában sem elegáns.

A gyökök ismerete nélkül a Viéte-formulákkal tudunk számolni, ám inkább a hozzá tartozó elméletet írom le; a fent már említett algebra alaptétele szerint minden harmadfokú polinom felírható a*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) alakban, ahol a a polinom főegyütthatója, x1;x2;x3 pedig az egyenlet gyökei. Bontsuk ki a zárójeleket, majd vonjunk össze, végül ezt kapjuk:

a*x^3 - a*(x1+x2+x3)*x^2 + a*(x1*x2+x1*x3+x2*x3)*x - a*x1*x2*x3

Azt szeretnénk, hogyha ez a megadott polinom lenne, tehát:

x^3 - 3x + 2 = a*x^3 - a*(x1+x2+x3)*x^2 + a*(x1*x2+x1*x3+x2*x3)*x - a*x1*x2*x3

Azt tudjuk, hogy két polinom akkor egyenlő egymással, hogyha a polinomok azonos fokszámú tagjainak együtthatói egyenlőek egymással, esetünkben:

1 = a

0 = a*(x1+x2+x3)

3 = a*(x1*x2+x1*x3+x2*x3)

-2 = a*x1*x2*x3

Ezeknek értelemszerűen egyszerre kell teljesülniük, tehát egyenletrendszerbe foglalhatjuk őket:

1 = a }

0 = a*(x1+x2+x3) }

3 = a*(x1*x2+x1*x3+x2*x3) }

-2 = a*x1*x2*x3 }

Az első egyenlet miatt az összesben lecseréljük az a-t 1-re, így:

0 = x1+x2+x3

3 = x1*x2+x1*x3+x2*x3

-2 = x1*x2*x3

A következőkben ők lesznek a barátaink.

Ebből gyönyörűen kiolvasható az első kérdésre a válasz: x1+x2+x3=0

A második kérdésre az előbbiből fogunk kiindulni; ha a fentit köbre emeljük, akkor ezt kapjuk:

(x1+x2+x3)^3 = 0, itt a zárójelbontást NEM TAGONKÉNT, hanem a tanult összefüggések alapján bontjuk ki majd összevonunk:

x1^3 + 3x1^2*x2 + 3x1*x2^2 + x2^3 + 3x1^2*x3 + 6x1*x2*x3 + 3*x2^2*x3 + 3x1*x3^2 + 3x2*x3^2 + x3^3 =0, a tagokat csoportosítsuk úgy, hogy a fent láthatóakat valahogyan megkapjuk:

[x1^3 + x2^3 + x3^3] + 6*[x1*x2*x3] + 3*[x1^2*x2 + x1*x2^2 + x1^2*x3 + x2^2*x3 + x1*x3^2 + x2*x3^2] = 0

A szögletes zárójel csak a jobb átláthatóságot segíti. A harmadikon belül még egy kicsit kell alakítanunk; ahol ugyanazok a gyökök vannak, ott, amit tudunk, kiemelünk, tehát:

x1^2*x2 + x1*x2^2 = x1*x2*(x1+x2)

x1^2*x3 + x1*x3^2 = x1*x3*(x1+x3)

x2^2*x3 + x2*x3^2 = x2*x3*(x2+x3)

Ha az elsőhöz hozzáadunk x1*x2*x3-at, akkor x1*x2*(x1+x2) + x1*x2*x3-at kapunk, ebből ki tudunk emelni x1*x2-t, ekkor ezt kapjuk: x1*x2*(x1+x2+x3), és ez azért jó, mert a zárójelben lévő összeg értékét tudjuk, kereken 0, tehát a szorzat értéke 0 lesz. Ugyanezt eljátszhatjuk a másik két taggal is, és ugyanúgy 0-t fogunk kapni. De mivel a hozzáadással változott az érték, ezért, ezt orvosolandó, amit hozzáadtunk, azt el is vesszük, így a szögletes zárójelben ez marad: 0 - 3*x1*x2*x3, és ennek a szorzatnak az értékét is tudjuk (nem véletlenül ezt adtuk hozzá), ami -2, tehát ennek az értéke -3*(-2)=6 lesz. A második zárójelben is ugyanez a szorzat van, így az egész egyenletből ez marad:

[x1^3 + x2^3 + x3^3] + 6*(-2) + 3*6 = 0, innen egyenletrendezés után kapjuk az

[x1^3 + x2^3 + x3^3] = -6 eredményt. Ennél rövidebb levezetés sajnos csak abban az esetben van, hogyha a gyökökkel számolunk (amiket vagy ki tudunk számolni, vagy nem, de általában nem tudjuk kiszámolni, bár a harmadfokú polinom gyökeire van megoldóképlet).

A determináns a következő lesz:

x1*x3*x2 + x2*x1*x3 + x3*x2*x1 - x1^3 - x2^3 - x3^3, ezt átalakítva:

3*(x1*x2*x3) - (x1^3 + x2^3 + x3^3), a zárójeles tagok értékeit már tudjuk, így: 3*(-2) -(-6) = -6+6 = 0, tehát a mátrix determinánsa 0.