AxB miért annyi, mint BxA?

"Ennek nem kéne egyenlőnek lennie."

Dehogyisnem, hisz a szorzás kommutatív művelet.

Ami így hirtelen eszembe jutott: területszámítás, mondjuk egy szobáé. Négyzet a szoba padlózata (mint általában), az egyik oldala 7 méter, a másik 5 méter. Ha úgy számoljuk, hogy 7*5, akkor 35 m^2 jön ki. És ha fordítva? Akkor a te látásmódod szerint nem annyinak kellene lenni. De miért? Hisz a szoba területe nem változott.

Ha így még nem túl világos, akkor keresd meg azt a kék színű dobókockás papírdobozodat (biztos volt/van neked is), az tele van színes kis korongokkal. Ha nincs, akkor jó helyette bab/borsó/pénzérme/akármi. Rakj le mondjuk egymás mellé közvetlenül 4 korongot, majd ebből a 4-es csoportból alkoss még 5-öt (azaz összesen hatot). Ez tulajdonképpen annyit tesz, hogy 6-szor leraktál 4 korongot, vagyis 6*4=24 korong van lent. Utána rendezd át úgy ezeket, hogy egy csoportba nem 4 darab van, hanem 6. Érdekes módon PONT jól fog kijönni a dolog, se hozzáadni se elvenni nem kell a végén belőle, 4 teljes csoport lesz. Ezt csináld meg más értékekkel is. Szerintem hamar megfogod unni, mert egyértelmű lesz, hogy pl. 5*7=7*5

Elmész a boltba és veszel 8 darab almát, aztán megint elmész a boltba és veszel 8 darab almát, ha ezt a folyamatot kilencszer megismétled (kilencszer elmész a boltba) akkor lesz 72 db almád.

Ha elmész a boltba és veszel 9 db almát és ezt nyolcszor megismétled, akkor ismét 72 db almád lesz.

"Ennek nem kéne egyenlőnek lennie. Vagyis csak nagyon ritkán, véletlenül"

Tudsz egyetlen esetet is mondani, ahol nem egyenlő?

[link]

Számoljuk meg kétféleképpen a golyókat:

oszloponként: 3+3+3+3=4*3

soronként: 4+4+4=3*4

Mindegy, hogy számoljuk meg őket, a számuk ettől még nem változik, tehát 4*3=3*4.

Talán geometriailag a legkönnyebb bizonyítani; vegyünk például egy téglalapot, "függőlegesen" osszuk 2, "vízszintesen" osszuk 3 egyenlő részre. Ezzel kaptunk 2 darab oszlopot, oszloponként 3 kisebb téglalappal, így 3+3=2*3 kisebb részre osztottuk a téglalapot. Most ezt a téglalapot forgassuk el 90°-kal, ekkor a sorok oszlopokká válnak és fordítva, vagyis lesz 3 oszlopunk, oszloponként 2 téglalappal, tehát 2+2+2=3*2 kisebb téglalapot fog tartalmazni a nagy téglalap.

Értelemszerűen a forgatással a felosztás száma nem fog sem nőni, sem csökkenni, tehát nem fog változni, ebből fakadóan 2*3=3*2, tehát ha van két számunk, és azokat összeszorozzuk, akkor a szorzás sorrendje köztük nem számít.

Algebrailag is lehet bizonyítani, az viszont egyrészt kicsit komplikáltabb, másrészt nem ennyire szemléletes.

AxB az nem BxA, ba**od Béla... nem kommutatív művelet!

Nézz már utána, mit jelent az AxB.

Az összes állítás jellegében ilyen. Van valami, aminek "nem kéne" igaznak lennie, vagy max véletlenül. Aztán mégis az.

Hát lásd be minél többféleképpen. Gráfelméletileg, kombinatorikailag, rekurzióval, halmazelméletileg, csoportelméletileg, stb :-)

Például rekurzióval:

1*1=1.

Utána elég megmutatni hogy AB = BA esetén (A+1)B = B(A+1)

Ez a definícióból rögtön látszik. QED