AxB miért annyi, mint BxA?

10-es: Ez nem rekurzió, hanem teljes indukció, amihez a Peano axiómákhoz tartozó szorzásdefiníció szükséges, miszerint:

A szorzás a természetes számokon egy olyan kétváltozós művelet, melyre teljesülnek az alábbiak:

1*A=A és (A+1)*B=A*B+B

Ezután meg kell mutatni, hogy A*1=1*A

Ekkor, ha A=1, az állítás triviálisan igaz. Indukciós lépésként feltesszük, hogy A-ra igaz, ekkor (A+1)*1=A*1+1*1 (a disztributivitás miatt)

=A+1 (az indukciós feltevés miatt, és mert 1*1=1)

= 1*(A+1) (a szorzás definíciója miatt)

Ezek után lehet megmutatni szintén indukcióval, hogy A*B=B*A

Legyen B rögzített. Ekkor A=1-re az előző állítás miatt igaz. Tegyük fel, hogy A-ra is igaz, ekkor:

B*(A+1)=B*A+B*1 (a disztributivitás miatt)

=A*B+B (az indukciós feltétel és az előző állítás miatt)

=(A+1)B (a szorzás definíciója miatt)

Ezzel az a baj, hogy természetesen felmerülő kérdés, hogy a disztributivitás miért igaz, ahhoz pedig szükség van arra, hogy az összeadás (mely szintén konkrét axiomatikus definícióval rendelkezik), miért asszociatív, illetve kommutatív, és természetesen azt is meg kell mutatni, hogy a szorzás így bevezetett fogalmára is igaz, hogy A*B az megegyezik A darab B összegével.

> Ezzel az a baj, hogy természetesen felmerülő kérdés, hogy a disztributivitás miért igaz, ahhoz pedig szükség van arra, hogy az összeadás (mely szintén konkrét axiomatikus definícióval rendelkezik), miért asszociatív, illetve kommutatív, és természetesen azt is meg kell mutatni, hogy a szorzás így bevezetett fogalmára is igaz, hogy A*B az megegyezik A darab B összegével.

Meg a ***. A francokat van ezekre szükség.

Az a kérdés, hogy a szorzás miért kommutatív. Ha ez a kérdés, akkor nem az a feladat, hogy az összeadás kommutativitását vizsgáljuk.

"Meg a ***. A francokat van ezekre szükség.

Az a kérdés, hogy a szorzás miért kommutatív. Ha ez a kérdés, akkor nem az a feladat, hogy az összeadás kommutativitását vizsgáljuk."

Egy szóval nem mondtam, hogy vizsgálni kell, csupán azt mondtam, hogy teljesen jogos felvetés, hogy az ember ezeknek a dolgoknak is látni akarja a levezetését, ha axiomatikus szinten gondolkodik, és nem feltételezem, hogy például a kérdező jártas lenne ezekben a dolgokban.

Egy korábbi válaszoló ezt írta:

"Ezek a válaszok jók, csak nem az a kérdés, hogy változik-e az összeg, hanem az, hogy miért nem változik..."

Ezen érvelés alapján a kérdezőnek akár az is eszébe juthatott volna, hogy A+B az miért egyenlő B+A-val, aminek az axiómákból való levezetése szintén nem túl rövid.