Milyen számot kapunk, ha összeszorozzuk az ÖSSZES valós számot 0,5 és 1,5 között?

A gond az, hogy határértéke sorozatnak van, ahol minden elemhez egy természetes számot kell tudnunk rendelni. Az "összes valós szám" elemeinél ezt nem tudjuk megtenni (még zárt intervallumban sem), nem lehet ilyen módon, zárt alakban leírni a sorozatot.

További, szakszerűbb magyarázatok:

[link]

[link]

Viszont ha tudunk adni egy részhalmazt, melynek elemei sorozatot alkotnak, és az 0-hoz konvergál, akkor igaz lesz a halmazra is; felhasználva az előbbi függvényt, ez egy jó sorozat lesz:

[link]

Láthatóan ez 0-hoz fog tartani. Ha ezt a szorzatot 0-nál kisebb pozitív számokkal szorozzuk, biztos, hogy a szorzat nem fog nőni, tehát 0-nál nem lehet több. Mivel kevesebb sem lehet (mivel akkor már negatív lenne), ezért a szorzat mindenképp 0-hoz fog konvergálni.

A 2-es jól írja, hasonlóan ahogy itt:

https://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__egyeb-kerdesek__8..

a 12-es válaszban kifejtettem, nincs definiálva kontinuum sok szám szorzata. (apró megjegyzés, a határérték a sorozatoknál általánosabb fogalmakra is értelmezve van)

A fenti érvelések, bár helyesnek tűnhetnek, mind a megszámlálhatóan végtelen fogalmára épülnek

Eltekintve, a kérdés alap problémájától:

"Az én elméletem szerint 0,5-1-ig összeszorozva kapunk egy nullához konvergáló számot, 1-1,5-ig meg egy végtelen nagy számot, de mi lesz akkor, ha ezt a kettőt összeszorozzuk?"

"nullához konvergáló szám" nem létezik, egy szám vagy nulla, vagy nem.

"mi lesz akkor, ha ezt a kettőt összeszorozzuk?"

A végtelen és a 0 szorzata nincs definiálva.

"a kérdés, hogy végtelen sok 1-nél kisebb szám szorzata * 1 mi lesz. Erre azért már nem nehéz rájönni, hogy 0-hoz fog konvergálni."

Továbbra is kontinuum sok szám szorzatáról van szó, és bár természetesnek tűnhet rá a válaszod, akkor sincs precízen matematikailag megalapozva.

"Viszont ha tudunk adni egy részhalmazt, melynek elemei sorozatot alkotnak, és az 0-hoz konvergál, akkor igaz lesz a halmazra is; felhasználva az előbbi függvényt, ez egy jó sorozat lesz:"

Miért lenne igaz a halmazra is? Részsorozat konvergenciájából nem következik a sorozat konvergenciája.

Jelöljük G-vel a 0,5 és 1,5 mértani közepét:

G = √(0,5*1,5) = √(3/4) ≈ 0,866 025

Vegyünk egy valós számot – jelöljük a-val –, amire igaz, hogy:

a := G*n

G < a < 1,5

G < G*n < 1,5

Ergo:

1 < n < 1,5/G

1 < n < 1,732 051

Legyen egy másik számunk, ami:

b := G/n

1 < n < 1,732 051

1 > 1/n > 0,577 350

G > G/n > 0,577 350*G

G > b > 0,5

Ilyen módon minden olyan „a” számhoz, ahol G < a < 1,5 találunk egy és pontosan egy darab olyan „b” számot, ahol:

a = G*n

b = G/n

a*b = G*n * G/n = G² = (√(3/4))² = 3/4

Végtelen sok ilyen a szám van, minden a-hoz egy és pontosan egy b szám tartozik, illetve minden b számhoz egy és pontosan egy a szám tartozik, így a két halmaz számossága azonos.

Így tehát az 0,5 és 1,5 közötti összes szám szorzata 3/4-ek szorzatának végtelen sora lesz szorozva G-vel.

lim{n→∞} (3/4)^n = 0

A szorzat tehát G*0 = 0 lesz.

Nem tudom, van-e valamilyen hiba ebben a levezetésben? Ha igen, akkor hol? Egy hibát sejtek, nem tudom, hogy végtelen szorzat esetén a szorzás kommutatív műveletnek tekinthető-e, de nem igazán látom a szerény tudásommal, hogy miért ne lehetne az.

2*Sü:

"Így tehát az 0,5 és 1,5 közötti összes szám szorzata 3/4-ek szorzatának végtelen sora lesz szorozva G-vel."

Nem lehet egyenlő lim{n→∞} (3/4)^n értékével, hiszen míg ez megszámlálható sok elem szorzata, míg a te eljárásodnál is kontinuum sok számot kéne összeszorozni, ami nincs definiálva.

Oké, de ha racionális számokról van szó, akkor ez a határérték kiszámítható. Csak a racionális számok szorzatánál ez az érték 0-hoz tart. Ha ehhez veszünk hozzá racionális számokból képezhető irracionális számpárokat (még mindig megszámlálhatóan végtelen részhalmazról beszélünk), akkor is mindig 1-nél kisebb számokkal szorzunk tovább, tehát még jobban tartana az egész a nullához.

Értem én, hogy a kifejezés ilyen módon nem teljesen értelmezhető, de úgy naiv logikával végiggondolva ha mégis valamiféle értelmezést próbálunk adni a feladatnak, annak az eredménye aligha lehetne más, mint nulla.

"racionális számokból képezhető irracionális számpárokat (még mindig megszámlálhatóan végtelen részhalmazról beszélünk)"

Mire gondolsz racionális számokból képezhető irracionális számok alatt? Ha arra, hogy racionális sorozattal közelíthető, akkor az állítás nem állja meg a helyét, mert minden irracionális szám közelíthető racionális sorozattal.

"ha mégis valamiféle értelmezést próbálunk adni a feladatnak, annak az eredménye aligha lehetne más, mint nulla."

https://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__egyeb-kerdesek__8..

Ebben a kérdésben a 12-es válaszban már beszéltem az integrál és az összegzés közötti kapcsolatról, szorzás esetében is megvan ez az analógia, létezik a szorzásra is hasonló, a multiplikatív integrál, aminek az értéke ebben az esetben például nem nulla.

> Mire gondolsz racionális számokból képezhető irracionális számok alatt?

Mondjuk:

n ∈ ℚ

Ebben az esetben:

m := n * √2

Ezekre az m-ekre igaz, hogy (hacsak n nem egyenlő nullával) irracionális számok, végtelen sok van belőlük, mégis a belőlük képzett halmaz ℵ₀ számosságú lesz. Ilyen módon végtelen sok ilyen halmaz generálható, de mondjuk ha nem négyzetszámok gyökeivel való szorzásról van szó, akkor is csak ℵ₀ számosságú ilyen halmaz képezhető.

Persze így sem léptünk ki a problémakörből, hiszen így is csak ℵ₀ számosságú olyan halmazt tudunk generálni, aminek a számossága ℵ₀, így ezen halmazok uniója is szükségszerűen ℵ₀ számosságú lesz.

És bár ez továbbra sem fedi le a feladatot, nem teszi értelmesebbé, ebből azért valahol mégis az az ember intuitív sejtése – ami persze mint tudjuk sokszor csalja meg az embert, ha matematikáról van szó –, hogy ha értelmezhető valamilyen módon egy ℵ₁ számosságú számhalmaz produktuma, akkor annak szükségszerűen a nullához kell konvergálnia a feladatban szereplő feltételek esetén.

> Ebben a kérdésben a 12-es válaszban már beszéltem az integrál és az összegzés közötti kapcsolatról, szorzás esetében is megvan ez az analógia, létezik a szorzásra is hasonló, a multiplikatív integrál, […]

Hmmm… A matematika tudásom ilyen irányba nem terjed ki. Nekem is az első gondolatom az volt, hogy valahogy integrálként kellene megfogalmazni a feladatot, akkor kezelhető lenne valós számok körében is, csak itt ugye nem szummáról, hanem produktumról van szó.

Mindenesetre meglesem a becitált kommentedet, hátha tanulok belőle valami újat. :-)