Milyen számot kapunk, ha összeszorozzuk az ÖSSZES valós számot 0,5 és 1,5 között?

Értem, tehát lényegében az algebrai számokra gondoltál.

"A matematika tudásom ilyen irányba nem terjed ki."

Körülbelül a következőről van szó:

1) Ha adott egy a_n sorozat, akkor ha meg akarjuk határozni az a sum(a_i, i=k,...,m) értéket, akkor elég, ha találunk egy olyan b_n sorozatot, melyre b_n=a_(n+1)-a_n, ekkor ez a szumma egyenlő lesz b_(k-1)-b_m különbséggel (teleszkopikus összeg).

2) Ha adott egy a_n sorozat, akkor ha meg akarjuk határozni az a prod(a_i, i=k,...,m) értéket, akkor elég, ha találunk egy olyan b_n sorozatot, melyre b_n=a_(n+1)/a_n, ekkor ez a szumma egyenlő lesz b_(k-1)/b_m különbséggel ("teleszkopikus szorzat").

Mind a két esetben, ha ha az a_n sorozat konstans (a_n=d) (a második esetben természetesen pozitív), akkor rendre a b_n=c+(n-1)d illetve a b_n=c*d^(n-1) sorozatok, azaz első esetben egy számtani sorozat d differenciával illetve egy mértani sorozat d kvócienssel megfelelő.

Speciálisan, ha az m*d-t illetve a d^m-t szeretnénk kiszámolni, akkor b_m-b_1 illetve b_m/b_1 kell nekünk.

Az első esetben b_n=c+(n-1)d helyett vegyük az f(x)=c+(n-1)d függvényt, melynek deriváltja éppen d, és m*d=f(m)-f(0).

Tehát, valami olyan, a deriváláshoz hasonló dolgot szeretnénk szeretnénk, ami a f(x)=c*d^(x-1) függvény esetében minden x-re egyenlő d-vel.

a lim((f(x+h)/f(x))^(1/h), h -> 0) megfelelő, amiről egyébként megmutatható, hogy adott x pontban egyenlő e^(f'(x)/f(x)) értékkel.

Tehát, ha ezt az analógiát követve akarjuk értelmezni például az intervallumon vett szorzatot, akkor meg kell oldanunk az e^(f'(x)/f(x))=x differenciálegyenletet, majd kiszámolni az f(1.5)/f(0.5) értéket.

„Miért lenne igaz a halmazra is? Részsorozat konvergenciájából nem következik a sorozat konvergenciája.”

Általában nem igaz, de indokoltam, hogy most miért lesz igaz; ha egy 0-hoz konvergáló sorozatot szorzunk egy 1-nél kisebb pozitív számmal, vagyis osztunk egy 1-nél nagyobb számmal, akkor a sorozat ugyanúgy 0-hoz fog konvergálni, és ezt akárhányszor megcsinálhatjuk, nem fog változni a határérték.

Viszont akkor azt válaszold meg nekem, hogy ha a [0;1] intervallum minden elemét szorozzuk össze, akkor 0 lesz-e a végeredmény, lévén bármi*0=0, vagy nem értelmezhető, lévén megszámlálhatatlanul végtelen sok elem van?

"ha egy 0-hoz konvergáló sorozatot szorzunk egy 1-nél kisebb pozitív számmal, vagyis osztunk egy 1-nél nagyobb számmal, akkor a sorozat ugyanúgy 0-hoz fog konvergálni"

Ez igaz, sőt ha az egész sorozatot végigszorozzuk egy tetszőleges számmal, az is 0-hoz fog konvergálni.

Az is igaz, ha egy sorozat minden részsorozata ugyan azon számhoz konvergál, akkor a sorozat is oda konvergál, tehát ha két sorozat ugyan oda konvergál, akkor, ha ezeket összefűzzük, az így kapott sorozat is oda fog konvergálni, a baj, csak az, ezzel az eljárással továbbra is csak sorozatot kapunk, soha nem lesz kontinuum elemű, tehát magát a teljes intervallumot soha nem kapjuk meg így.

"Viszont akkor azt válaszold meg nekem, hogy ha a [0;1] intervallum minden elemét szorozzuk össze, akkor 0 lesz-e a végeredmény, lévén bármi*0=0, vagy nem értelmezhető, lévén megszámlálhatatlanul végtelen sok elem van?"

Nem nem értelmezhető, hanem nincs értelmezve. Ha valaki precízen megfogalmazza a valós számok axiómáira építkezve, hogy mit ért tetszőleges számhalmaz elemeinek szorzatán, és utána megmutatja, hogy az így kapott definícióból például a [0, 1] intervallum elemeinek szorzata nulla, az teljesen rendben van, bár szerintem abszolút jogos olyan elvárás egy ilyen definícióval szemben, hogy a szorzás bizonyos tulajdonságait örökölje, például, hogy diszjunkt számhalmazok unióján vett szorzata legyen egyenlő a komponenseken vett szorzatok szorzatával, vagy esetleg ha a 0-t tartalmazza, legyen egyenlő 0-val, vagy, legyen kiterjesztése a szorzásnak, azaz véges halmazon legyen egyenlő az elemek szorzatával. Ha ilyen dolgok közül legalább valamelyik nem teljesül, nem igazán érdemli meg a "szorzat" elnevezést.

2*Sü!

#6-beli válaszod egészen az utolsó előtti bekezdésig korrekt, és fontos. Hagyd el az utolsó előtti bekezdést, mert itt tényleg kontinuum számosságú elemről van szó. Helyette.

Igazoltuk, hogy a szóban forgó intervallumban minden elemhez található egy olyan másik elem, amelyek szorzata 3/4. Így tehát kontinuum számosságú 3/4 szorzata a kérdés.

Válasszunk ki a kontinuum sokaságú szorzatpár halmazból (amelyben csupa 3/4 érték található) egy tetszőleges sorozatot. Ennek határértéke nulla (mint többször ezt bemutatták). Azt is állíthatjuk, hogy bármely sorozatot választva ugyanezt kapjuk, azaz nem létezik olyan végtelen sorozat, amelynek szorzatértéke nem nullához tart.

Tételezzük fel, hogy a kontinuum számosságú elem szorzata egy határozottan pozitív A szám. Minthogy mindig létezik olyan sorozat, amelynek szorzata ennél kisebb, ezért léteznie kellene olyan számnak, amellyel szorozva ismét a nagyobb A értéket kapnánk, ami ugye abszurdum a sok 3/4 között.

Ha tehát bármely pozitív számnál lehet kisebb szorzatértéket mutatni, akkor az azt jelenti, hogy a kontinuum számosságú elem szorzata tetszőleges kicsiny számnál kisebb értékkel tér el nullától. QED

"Tételezzük fel, hogy a kontinuum számosságú elem szorzata egy határozottan pozitív A szám"

Ezen a lépésen továbbra is bukik a bizonyítás, mert nincs definiálva, hogy mi az, hogy kontinuum sok elem szorzata, így bármit feltenni róla is értelmetlenség.

Ha sikerül valamilyen módon (akármilyen sorrendben) felsorolnod az említett tartomány összes valós számát, azután tárgyalhatunk a szorzatról is.... :)

Segítek: NEM LEHET felsorolni.

(ld. még Cantor...)