Mátrixos feladatról lenne szó. Valaki segítene ebben a feladatban?

Az, hogy a 2 sajátértéke, megmutatható úgy, hogy a karakterisztikus polinomjának a gyöke:

p(x)=-x^3+2x^2+10x-20

p(2)=-2^3+2*2^2+10*2-20=-8+8+20-20=0

Tehát a 2 valóban sajátértéke.

De fölösleges a karakterisztikus polinom kiszámításával vesződni, van egyszerűbb mód:

Ha 2 sajátértéke, akkor létezik olyan nem nulla vektor, hogy Av=2v. Tehát, ha ennek az egyenletnek van nemtriviális megoldása, akkor a 2 valóban sajátérték (és egyúttal megkaptuk a hozzá tartozó sajátvektorokat is)

A*[x, y, z]^T=[2x, 2y, 2z]^T azaz

y+2z=2x

6x-y+3z=2y

2x-y+3z=3z

Rendezzük 0-ra ez egyenleteket:

-2x+y+2z=0

6x-3y+3z=0

2x-y+z=0

Rögtön észrevehető, hogy az első és a harmadik egyenletet összeadva:

3z=0, teház z=0

Ezt beírva az egyenletekbe:

-2x+y=0

6x-3y=0

2x-y=0

Ebből rögtön látszik, hogy tetszőleges kettő egyenletre az egyik a másik skalárszorzata, ezért elég ebből egyet megoldanunk, vegyük például a harmadikat:

2x-y=0

2x=y

Innentől, x-et tetszőlegesen választhatjuk (ne legyen 0, mert akkor az eredmény a nullvektor lenne), legyen például x=1, ekkor y=2, tehát a v=[1, 2, 0] sajátvektor lesz, ebből pedig az összes sajátvektort megkapjuk a*v alakban, ahol a tetszőleges valós szám.

Neo biztos segítene.

Ha mást nem, a kategóriát megtalálni.