Feladatok megoldása?

1. Nem; legegyszerűbb példa, ha a sorozat a c(n)=1 sorozat, erről nem nehéz belátni, hogy konvergens és 1-hez tart, és ha a(n)=b(n)=n, ekkor sem a(n), sem b(n) nem konvergens.

2. Ugyanaz a példa jó ide is, amit az előbb írtam.

3. Erre is nagyon egyszerű ellenpéldát mutatni; a(n)=0, b(n)=bármilyen nem konvergens sorozat, ekkor szorzatuk a 0 sorozatot fogja kiadni, ami pedig igencsak konvergens.

A másodikat könnyű belátni; ha mindkét sorozat divergens, akkor szorzatuk is biztosan divergens lesz (vagy végtelenhez tart, vagy nem létezik), ha viszont az egyik divergens, a másik konvergens, de nem 0-hoz konvergál, akkor bizonyos n után létezik olyan c szám, ami sorozat alsó vagy felső korlátja lesz, tehát a szorzat vagy alulról, vagy felülről becsülhető, így vagy c*+-végtelent kapunk a határértékre, ami biztosan +-végtelenhez fog tartani, vagy c*nem létezik a határérték, ez sem lehet konvergens, csak akkor lehetne, ha c=0 lenne, tehát a második állítás igaz.