Fizika! föld tömegét úgy számítjuk ki, hogy Mf= g szorozva Rnégyzet osztva f. Miért kell kétszer venni az R-t?

A gravitációs állandót minden könyv máshogy jelöli.

Kérdezőnek:

Nézz szét ezen az oldalon, de ha jól sejtem középiskolás vagy és valószinű problémák lesznek a dolgok megértésével, meg azaz igazság, hogy angolból nem vagyok túl profi és nem nagyon értem azt sem, hogy miről van szó, csak a képletekből gondoltam, hogy itt valami bizonyítás is van levezetve egy másik tételből.

[link]

Igazából arról van szó itt, hogy képzeletben visszautazunk a XVIII. századba, amikor még lényegében a gőzgép volt az egyetlen mai szemmel is gépnek nevezhető dolog, (ha a vizimalmot, szövőszéket stb. nem tekintjük annak), és mai értelemben véve hihetetlenül falusias volt minden (voltak városok, de a népesség nagy része falun élt).

Az a kérdés, hogy ha egy ilyen korban élnénk, mai műszerek, találmányok nélkül, akkor rá tudnánk-e jönni valahonnan, mekkora a Föld tömege.

A dologhoz hozzátartozik, hogy -- bármilyen meglepő is -- a Föld méreteit már az ókori görögök is tudták:

[link]

a Hold méretét is:

[link]

Azonban mindez az értékes eredmény együttvéve sem elég ahhoz, hogy tudjuk a Föld tömegét. Hiába tudjuk a méretét -- nem tudjuk, milyen sűrű. Nem téetelzhtjük fel, hogy a Föld tömege úgy adódik a méretéből, mintha egszerűen csak kőből lenne. Nem tudjuk, milyen sűrű belül! Lehet akár ólomnsűrű is a közepe.

Ezért más ötlethez kell nyúlni.

Szóval a XVIII. században egy Cavendish nevű angol úr rájött arra, hogy két tetszőleges tárgy vonzza egymást, pusztán a tömegüknél fogva.

[link]

Tehát itt nem valamiféle mágneses vagy elektromos jelenségről van szó, egyszerű ólomgolyók, sőt kődarabok között is érvényesül a vonzás. Persze itt nagyon gyenge erőről van szó. Máshogy nem is lehetne egyszerű eszközökkel kimutatni, csak hajszálvékony fonálon logó, finoman elcsavarodó műszerekkel (torziós inga). Ha otthon szeretnél kísérletezni a testek közti gravitációs erővel, akkor hajszálra (vagy nagyon vékony fonálra) kell felfüggeszteni és vízszintesen kiegyensúlyozni egy pálcát, a pálca mindkét végén egyenlő súlyú golyók vannak. Nagyon-nagyon pici erőhatás is elég ahhoz, hogy a pálca elforduljon, hiszen ehhez csupán a hosszú vékony felfüggesztő fonálnak kell megcsavarodnia. Ezt a finom műszert nevezzük torziós ingának.

[link]

Most megpróbálok az Wikikpédia ábrák helyett Youtube-os videókat mutatni.

http://www.youtube.com/watch?v=xA2Xn7nfKds

Milyen lassan kezd el az az ólmozott végű, fonálon lógó deszka odafordulni az ólomgömbök felé. A videó kezdetekor van még egy kis sebessége is, szóval eredetileg távolodik a gömböktől. A gravitációs vonzás megállítja (kb. a videó közepére), aztán elkezd odafordulni a gömbök felé. Elcsavarja a fonalat, végül a fonál visszafelé csavaró ereje megállítja.

Gyorsított felvételek is vannak, talán az meggyőzőbb:

http://www.youtube.com/watch?v=euvWU-4_B5Y

Szóval, Cavendish finom mérései alapján az derült ki, hogy két tömeg között ható erő arányosan nő azzal, ha a két tömeg közül az egyik tömegét növelem. Kétkilós ólomgolyó kétszer nagyobb erővel húzza magához a testeket (ugyanabból a távoságból), mint ahogy egy egykilós ólongolyó húzná (ugyanabból a távoságból).

És akkor is nő a vonzerő, ha csökken a két tömeg közti távolság, itt viszont már némileg bonyolultabb az összefüggés: ha a felére csökkentem a két test közti távolságot, négyszeresére nő a köztük ható erő. Ha harmadára csökkentem a távolságot, kilencszeresére nő az erő. Ez végülis nem annyira idegen jelenség, végülis a mágneseknél is ez van. Ha egy mágneshez közelítünk egy vasdarabot, akkor eleinte alig észlelünk valmi csekélyke vonzást, és aztán ,,gyorsan'' erősödik be a vonzerő, amikor már ,,nagyon közel'' kerülünk a mágneshez.

Azonban a gravitáció esetében mindenképp nagyon gyenge erőkről van szó. A Gellérthegy egy almát közvetlen közelből is talán csak egy homokszencse súlyának megfelelő erővel húzna. Az űrben lebegő Gellérthegy nagyságú kisbolygón, ha elejtenék egy poharat, akkor az percekig lebegni látszana, és csak azután venném észre, hogy nagyon lassan ,,hullik'' lefelé.

Ezt a hihetetlenül ,,gyenge '' kapcsolatot tömeg és erő között fejezi aki a gravitációs konstans. Vagyis: még nagyon nagy tömegek között is, kis távolság estén is csak alig érzékelhető erők jelentkeznek.

A képlet egész pontosan így szól:

m₁m₂

────⋅G = F

r²

A tömegeket (m) kilogramban, a távolságot (r) méterben mérjük, az erőt newtonban kapjuk meg. A G a gravitációs konstans számértéke 6,67428⋅10⁻¹¹ m²/kg². Éppen ennek az értékét tudta Cavendish meghatározni méréseivel: az ólomgolyókkal és a torziós ingával való mérésekkel ,,kisakkozta'' az összefüggést, hogyan függ a vonzerő a két tömeegtől, és a kettő közti távolságtól, és milyen az ,,átváltás''.

Szóval ezt a képletet lehetet leszűrni a finom múszerekkel végzett mérések alapján. Ehhez még nem kellettek csilagászati fogalmak, egyszerű ólomgolyók közt is működik a dolog, egy szobában is el lehetett végezni.

Most jön az első ötlet: az egyik tömeg helyébe képzeljük bele magát a Földet. A másik tömeg továbbra is maradjon valami egyszerű ólomgolyó, aminek ismerjük a tömegét (hiszen mi magunk választjuk meg).

Most a két ,,golyó közti erőhatás'' immmár nem valamiféle finom műszerekkel kimérendő, alig észlehető erő lesz, hanem egy nagyon is jól észrevehető erőről van szó: az, amit úgy észlelünk, hogy éppen az az ólomgolyó súlya. Épp ez a lényeg: az, amit a hétköznapi életben egy alma ,,súlyának'' érzékelünk, az valójában nem más, mint az alma ésa Föld közti gravitációs vonzás. Igaz, hogy az ,,átváltási arányt'' kifejeznő gravitációs konstans nagyon-nagyon pici szám, de ugyanakkor viszont a Föld tömege hatalmas, így jön ki erőként a hétköznapi életben is jól érzékelhető súly.

Most jön a harmadik ötlet. Tulajdonképen mindent tudunk, minden együtt van, pontosan egyetlenegy dolog az, amit nem tudunk (a Föld tömegét), minden mást tudunk. Az ötlet az, hogy az ismert dolgokból ,,következtessünk vissza'' a Föld tömegére.

Szóval legyen két testünk: az egyik a Föld (a maga ismeretlen M kg-os tömegével), a másik egy jólismert, saját magunk által előre elkészített ólomgolyó (a maga ismert m tömegével).

A két test között ható gravitációs erő tulajdonképpen nem más, mint az, amit a hétköznapi életben mint az ólomgolyó ,,súlyát'' érzékelünk. Ezt is jól ismerjük, sőt, akár le sem kell mérnünk: ha tudjuk az ólomgolyó tömegét (m, kilogrammban), akkor a súlyát egy korábbról is ismert a korábbról is jól ismert képlet felyezi ki: súly = m⋅g. Itt g a nehézségi gyorsulás, ami a szabadesés gyorsulását megadja. Ezzel az utóbbi összefüggéssel Cavendish-nek nem volt gondja, jól ismerte, hiszen ezt (szerintem) már Galielei is tudta, még a XVII. században.

Ismerjük a két tömeg közti távolságot is. Igaz, bonyolítja a helyzetet, hogy nem a golyók felszíne közti távolság számít, hanem a középontjuk közti távolság. Tehát az ólomgolyó középpontjától a Föld középpontjáig kell venni a távolságot. Mivel a kísérletet a Föld felszínén végezzük ezért a két gömb közti távolság lényegében éppen a Föld sugara. Szerencsére a Föld méretét ismerjük, hszen azt már az ókori görögök megmérték a már említett szellemes kísérlettel.

Jelöljük a Föld sugarát itt R-rel kis r helyett, ezzel is hangsúlyozva, hogy itt konkrétan a földsugárról van szó, nem pedig valami tetszőlegesen felvehető távolságról.

Most akkor szedjük is össze, hogyxan szól a képlet: a Cavendish mérései alapján felismert

m₁m₂

──── ⋅ G = F

R²

képletből indultunk ki, ahol az m₁ heylébe az ólomgolyó, az m₂ helyébe pedig a Föld tömegét kell érteni. Ha már nagy R-nek jelöltük a Föld sugarát, a tömegét is jelöljük hasonlatosan valami nagy betűvel, vagyis ezentúl M-mel. Jól összetartozik az, hogy épen a Földhöz tartozó adatokat jelöljük nagy betűbel: nagy M földtömeg, nagy R földsugár, kis m és kis r helyett.

Az ólomgolyó m₁ tömegét az egyszerűség kedvéért jelöljük csak m-mel.

Az ólomgolyóra ható F (súly)erő helyébe pedig írjuk azt, hogy m⋅g, hiszen azt már régóta tudjuk (talán Galilei óta, XVII. század), hogy a súly, a tömeg és a kb. 9,81 értékű g szabadesési gyorsulás között ilyen összefüggés áll fenn, vagyis az m tömegű ólomgolyó súlya éppen m⋅g newton.

Tehát mostantól a képletünk ez lesz:

m⋅M

───── ⋅ G = m ⋅ g

R²

Mivel az m mindkét oldalon megjelenik (és feltételezhetjük, hogy nem 0, vagyis ólomgömbünk nagyobb a semminél), ezért nyugodtan leoszthatjuk m-mel mindkét oldalt:

M

─── ⋅ G = g

R²

Tulajdonképpen mire is vagyunk kivácsiak? R-re, a Föld sugarára? Nem, a Föld sugarát már a görögök óta tudjuk. Talán a G gravitációs állandóra? Arra sem, hoszen azt Cavendish mindenféle tömegekkel végzett méréseivel meg tudta határozni. A g nehézségi gyorsulást is ismerjük, azt hiszem, azt Galilei már a XVII. században megmérte. Szóval nem ezekre vagyunk ivácsiak, hanem a Föld tömegére, M-re. Ez az, amit keresünk, ő az ismeretlen, ez az, amit Cavendish még nem tudhatott, épp ez az, ami újdonság lehetett az ő számára is abban a korban. Az összes többi menyiséget már ismerték korábbi tudósok mérései alapján. Éppen az a cél, hogy a Föld ismeretlen M tömegét fejezzük ki az említett ismert mennyiségekből.

Tehét nézzük az átrendezéseket:

m⋅M

───── ⋅ G = m ⋅ g

R²

mindkét oldalt osztom m-mel

M

─── ⋅ G = g

R²

mindkét oldalt szorzom R²-tel

M ⋅ G = g ⋅ R²

mindkét oldalt osztom G-vel:

gR²

──── = M

G

Ellenőrizzük a Wolfram Alpha segítségével:

[link]

Még meg is jegyzi a végén, hogy kb. éppen egy földtömeg.

Ha valaki nem bízik ennyire a WOlfram Alpha-ban, akkor először szedjük ki a Wikipédiából azadatokat, és csak a végső számítást bízzuk a Wolfram Alpha-ra:

g gravitációs gyorsulás (középérték):

[link]

9.80665 m/s²

Föld sugara (középérték):

[link]

6 371 009 m

G gravitációs állandó:

[link]

6,67428⋅10⁻¹¹ m²/kg²

Most már számolhatunk. Mit is szeretnénk ellenőrizni? Hát a

gR²

──── = M

G

képletet, hogy jó-e:

[link]

A Wolfram Alpha válasza:

5,9639321⋅10²⁴

Most akkor ezt vessük össze a Föld tömegével, lássuk, tényleg annyi-e!

[link]

A Wikipédia szerint a Föld tömege, M = 5,9742⋅10²⁴ kg

Szóval a kérdésre feleve: a

gR²

──── = M

G

képletben azért szerepel R a négyzeten, mert a kiinduló képletekben is

m₁m₂

──── ⋅ G = F

R²

m⋅M

───── ⋅ G = m ⋅ g

R²

a négyzeten szerepel az R.

Ha az eredeti kérdés arra is irányult, hogy hát akkor már eleve a kiinduló

m₁m₂

──── ⋅ G = F

R²

képletben miért szerepel R a négyzeten, arra (a középiskolai tananyag keretei között) elég csak annyit mondani, hogy hát mert úgy döntött a természet. ,,Ilyen kedve volt az Istennek a teremtéskor''. Szóval, ezt mutatják a mérések, kísérletek. A fizika kísérleti, tapasztalati tudomány. A dolognak EZT A RÉSZÉT nem kell számítással igazolni (csak a belőle levont következtetéseket).

Persze ez a középiskolai oktatás kereteire vonatkozik. A tudomány mai állásáról nem tudok számot adni, sőt a XX. századi fejleményekről sem. Nem tartom elkézelhetetlennek, hogy mégiscsak lehet valamit hozzáfűzni mindehhez, de ebben a mélységben már nem értek a témához. Mindenesetre nem kell középiskolában gravitációs erővonalakról, gravitonokról, Higgs bozonokról számot adni. Newton, majd később Cavendish, és kortársaik számára ez egyszerűen tapasztalati, mérési, megfigyelési eredmény volt, elfogadták, mint tapsztaltot és mérési tényt. Ha esetleg volt is valami magánjellegű elképzelésük ,,az okáról'', azt nemigen lehetett abban a korban sem igazolni, sem cáfolni.