A tanárunk bedühödött, és feladta ezt a példát, de még nem vettük, HELP?

Ha nem lenne lezárva a teteje, akkor 30 centi lenne. De le van zárva, így hosszabb lesz (valamennyi levegő lekerül a higany szintje alá.)

Legyen a levegőoszlop végleges magassága 30+x cm.

Ekkor x cm az a higanyrész, ami a a levegőoszlop alja fölött van. Ennek a higanynak a hidrosztatikai nyomása ennyi:

p = ρ·g·x

ahol ρ a higany sűrűsége, g a gravitációs gyorsulás, x a magasság.

ρ = 13,6 g/cm³

g = 9,81 m/s² (de lehet, hogy szabad 10-zel számolni)

Kis elmélet:

Nem tudom, tanultátok-e a hidrosztatikai nyomást? Ha nem, akkor azt érdemes tudni róla, hogy ha van egy x magas folyadék-oszlopod (mondjuk egy csőben, vagy egy tálban, mindegy), ahol a cső vagy edény aljának a felülete A, akkor annak az oszlopnak a súlya m·g, ahol m=ρ·V a folyadék tömege, V=A·x. A folyadék nyomása úgy jön ki, hogy elosztjuk a súlyát azzal a felülettel, amit nyom, vagyis A-val:

p = m·g/A = ρ·V·g/A = ρ·A·x·g/A = ρ·g·x

A lényeg, hogy kiesett a felület!

Vagyis a nyomásnál mindegy, hogy milyen keresztmetszetű csőben vagy edényben van a folyadék.

Ha mondjuk a higanyban 1 centi mélyen nézzük a nyomást, akkor az is ezzel a ρ·g·x képlettel számolható, ahol x=1 cm. Szóval nem csak az edény alján számolható így a nyomás...

Vissza a feladathoz:

A teljes nyomás a higany hidrosztatikai nyomása, plusz a külső légnyomás:

ρ·g·x + 1,03·10⁵ Pa

Ennyi az a nyomás, ami a levegőoszlopunkra hat alulról. (A nyomás minden irányban egyformán hat.)

Ugyanennyi lesz a levegőoszlopnak is a nyomása a cső belsejében.

Na most ha állandó a gáz hőmérséklete, akkor pV állandó. Ez a Boyle–Mariotte-törvény, remélem, tanultátok. Tehát a csőben lévő levegőre felírható ez:

p₀·V₀ = p₁·V₁

ahol p₀ a kezdeti nyomás (1,03·10⁵ Pa), p₁ pedig a végleges (ρ·g·x + 1,03·10⁵ Pa). V₀ és V₁ pedig a térfogatok:

p₀·A·h₀ = p₁·A·h₁, ahol A a cső keresztmetszete, de úgyis kiesik:

p₀·h₀ = p₁·h₁

ahol h₀ az eredeti magasság (60cm), h₁ pedig a végleges (30cm+x)

1,03·10⁵ Pa · 60cm = (ρ·g·x + 1,03·10⁵ Pa)·(30cm+x)

Na most a mértékegységekkel még kell egy kicsit trükközni: Ha mindenhol Pascallal, méterrel, kg/m³-rel meg m/s²-tel számolnánk, akkor rendben lenne az egyenlet, de nekünk cm-ünk van.

60 cm → 0,6 m

30 cm → 0,3 m

x is méterben értendő

ρ = 13,6 g/cm³ = 13600 kg/m³

1,03·10⁵· 0,6 = (13600·10·x + 1,03·10⁵)·(0,3+x)

érdemes 10⁵-nel osztani, ne legyenek ekkora nagy számok:

1,03·0,6 = (1,36·x + 1,03)·(0,3+x)

Ez egy másodfokú egyenlet, oldd meg. A pozitív gyöke lesz csak a jó persze.

Kicsit kevesebb mint 20 centi jön ki x-re, vagyis annál 30 centivel több, tehát kicsit kevesebb mint 50 centi lesz a levegőoszlop magassága.