Ha egy függvény egy adott pontjában nem létezik határérték, akkor abban a pontban nem is lehet deriváltja?

Két tétel:

Aminek van deriváltja, az folytonos is kell legyen.

A folytonosnak van határértéke, ban helyettesítési értéke és ez a kettő egyenlő.

Tehát aminek van deriváltja, van határértéke.

Fordítva nem igaz. Pl. a köbgyökx függvénynek van határértéke a 0-ban, ott még folytonos is, de nem létezik a deriváltja.

Akkor abban a pontjában nincsen (véges) deriváltja.

Azaz, a deriválhatóságból következik, hogy van határértéke az adott pontban. (Ez a kérdéseddel ekvivalens.)

Ha az 'a' pontban létezik a derivált, akkor a különbségi hányadosok korlátosak, tehát a függvény lokálisan az 'a' csúcsú, m < f'(a) < M meredekségű egyenesek által határolt kúpban marad:

> m*(x-a)+f(a) < f(x) < M*(x-a)+f(a)

minden x e (a-r, a+r) x-re. (Minden m<f'(a)<M meredekségekhez létezik olyan r_{m,M}, hogy..)

Azt fogjuk megmutatni, hogy van határértéke, konkrétan, f(a) jó határérték 'a'-ban.

(Másnéven: pontbeli deriválhatóságból következik a pontbeli folytonosság.)

Ami pedig azzal ekvivalens, hogy tetszőleges f(a) körüli 2d vastag sávra a függvény lokálisan a sávban marad, azaz, létezik r', hogy

> f(a)-d < f(x) < f(a)+d

minden x e (a-r',a+r') esetén.

Ilyen r' jó lesz ha |m*(x-a)| és |M*(x-a)| is kisebb mint d, azaz,

r' = min{r,1,abs(d/m),abs(d/M)}

jó lokális környezet, a függvény teljes egészében a 2d vastag sávban halad x e (a-r',a+r') esetén. (Hiszen az m,M kúpban halad teljesen, és az m,M kúp teljesen a sávban van. Konkrétan ezt az ábrát írtuk le képletekkel)

(konkrétan a

pontban deriválható ==> pontbeli különbségi hányadosok korlátosak (lokálisan) ==> pontban folytonos ==> pontban van határértéke

következtetési láncot láttuk be, ha, esetleg szükséged lenne valamelyik következtetésre a láncból később.)

Feladat: Ha azt tudjuk, hogy az 'a' pontbeli különbségi hányadosok végtelenhez tartanak x->a esetén, akkor, következik-e, hogy a függvénynek van 'a'-beli határértéke?