Melyik az a két (különböző) függvény, amiknek nincs határértékük, de a szorzatuknak van?

A sorozatok is függvények. (Legalábbis mi úgy definiáltuk őket, hogy olyan függvény, ami a pozitív (vagy nem negatív) egész számokhoz rendel hozzá (valós/képzetes/…) számokat.)

Másrészt a (–1)^x valósak felett csak egész x-ekre értelmezett. Komplexek felett pedig szerintem úgy lesz jó, ha a másik sorozatnak még veszed a komplex konjugáltját: ((–1)^x)*, és x-ről kikötöd, hogy legyen valós.

Harmadrészt függvényeknél azt is meg kell mondjad, hogy melyik pontban akarod venni a határértéküket.

Ha a 0-ban, akkor az egyik legyen a 2*sgn(x), a másik a sgn(x)/2.

Ha a végtelenben, akkor legyen az egyik függvény olyan, hogy 2, ha n < x ≤ n + 1 és n páros egész szám, –2 különben; a másik függvény pedig 1/2, ha n < x ≤ n + 1 és –1/2 különben.

Ezeknek nincs határértéke a megadott helyeken (az utóbbiaknak az egészeknél sincs), és közben eszembe jutott az ultimate-solution:

Az egyik függvény legyen a D(x)/2, a másik pedig a 2*D(x), ahol D(x) = 1, ha x racionális és –1, ha az x irracionális.

Vagy egyszerű függvényekkel:

f(x) = 2+sin(x)

g(x) = 1/(2+sin(x))

Amit én mondtam, az mindkettő nagyobb, mint 0.

Milyen fontos részlet van még? Mit értesz azon, hogy különböző függvény? Szerintem egy függvény és a reciproka különbözőek. Nem?

bongolo válaszával kapcsolatban azt jegyezném meg, hogy ott a függvényeknek minden x0 valós helyen van határértékük (ami a függvényértékkel egyezik, ugyanis az ő függvényei folytonosak). Azt még nem specifikáltad, hogy hol nem szabad legyen határértékük, de ha sehol sem, akkor az én „ultimate-solution”-öm annyiban módosítom, hogy mind a két függvény legyen pozitív:

Szóval legyen az egyik függvény D(x), a másik pedig 1/D(x), és D(x) legyen 2, ha x irracionális, és 3, ha racionális. Ezek különböznek is (az egyik mindenhol kisebb, mint 1, a másik mindenhol nagyobb, szóval sehol sem egyeznek meg), pozitívak is, sehol nincs nekik határértékük (a végtelenben sem), a szorzatuk határértéke pedig mindenhol 1 (a végtelenben is),… Mi kell még?

> „Szerintem egy függvény és a reciproka különbözőek.”

Kivéve, ha az értékkészletük a {–1; 1} halmaz. (Lényegtelen, tudom, csak muszály volt belekötni. Meg az is érdekes kérdés, hogy hogyan mérjük a függvények egyszerűségét… Például az én függvényem esetén a számegyenesen igencsak 'sűrűn' (lásd def.) vannak azok a pontok, ahol könnyen megmondjuk az értékét, a tiédnél meg lényegében csak π/6 egész számú többszöröseiben könnyű a dolgunk.)