Logaritmusos egyenletrendszernél, ha ilyen van mit kell csinálni?

Legyen négyes alapú logx=a, négyes alapú logy=b, ekkor az egyenletrendszer:

(I) 5a+3b=3

(II)4a+2b=2

Innen már menni fog a megoldás?

Egy lehetséges megoldás:

1. 5log(4,x)+3log(4,y)=3

2. 4log(4,x)+2log(4,y)=2

Legyen a=log(4,x) és b=log(4,y)

Ekkor:

1. 5a+3b=3

2. 4a+2b=2

Ezt a,b re megoldva (a megoldás menetét nem írom le, szerintem meg tudod oldani) az eredmények:

a=0,b=1

log(4,x)=0

4^log(4,x)=4^0

x=1

log(4,y)=1

4^log(4,y)=4^1

y=4

1. 5a+3b=3

2. 4a+2b=2

1. a=3/5(1-b)

Ezt a második egyenletbe beírva:

2. 4*3/5(1-b)+2b=2

2. 12(1-b)+10b=10

2. 12-12b+10b=10

2. 2-2b=0

2. b=1

Ezt beírva az első egyenletbe:

1. a=3/5(1-b)

1. a=3/5(0)

1. a=0

Ez a megoldási módszer a legjobban alkalmazható, viszont bonyolultabb egyenleteknél nehezebb kifejrzni, majd behelyettesíteni; de megoldásra vezet.

Ezen felül van több megoldási módszer is, mutatok még kettőt, amivel kevesebbet kell számolni, de többet kell gondolkodni általában:

1. 5a+3b=3

2. 4a+2b=2

Szorozzuk meg mondjuk a második egyenletet 3/2 el, ekkor a két egyenlet:

1. 5a+3b=3

2. 6a+3b=3

A második egyenletből kivonva az elsőt eltünik a b:

(6-5)a+(3-3)b=(3-3)

a=0

Behelyettesítéssel kiszámolható könnyen a b, de hasonló módszerre kiszámolom azt is, hátha úgy jobban érthető:

1. 5a+3b=3

2. 4a+2b=2

Most ugye az a-t akarjuk eltüntetni, tehát ugyan annak a számnak kell lennie mindkét egyenletben az a előtt (vagy az ellentettjének). Tehát szorozzuk be az első egyenletet -4/5 el.

1. -4a-12/5b=-12/5

2. 4a+2b=2

Most ha a két egyenletet összeadjuk, eltűnik az a.

(-4+4)a+(-12/5+2)b=(-12/5+2)

0a-2/5b=-2/5

-b=-1

b=1

És a másik:

1. 5a+3b=3

2. 4a+2b=2

Az 1. egyenletből a 2.at kivonva:

(5-4)a+(3-2)b=(3-2)

a+b=1

A két egyenletet máshogy csoportosítva:

1. 2a+3a+3b=3

2. 2a+2a+2b=2

1. 2a+3(a+b)=3

2. 2a+2(a+b)=2

Az a+b=1 et be lehet írni bármelyik egyenletbe, én most az elsőbe írom be:

1. 2a+3*1=3

1. 2a=0

1. a=0

A b-t behelyettesítéssel ki lehet számolni:

1. 5a+3b=3

1. 5*0+3b=3

1. b=1

"Azért egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerrel el kellene, hogy tudj boldogulni..."

Igen, ez arra épül; tudni kell hozzá. De lehet, hogy a kérdező valami miatt nem értette meg akkor, amikor tanulták. De legalább próbál tenni ellene, és segítséget kér.