Matekból sürgősen kéne egy nagyon pontos levezetés egy harmadfokú egyenletről mivel egyszerűen nem megy:x a harmadikon+3x anégyzeten-3x-14=0 Kérdés: Hány valós és hány komplex gyöke van? Csak a lényeg kell! (17/L)

x^3+3x^2-3x-14 = 0

Kiemelsz (x-2)-t a polinomból, ekkor kapod az (x-2)(x^2+5x+7) alakot.

Ebből az egyik megoldás (x-2) = 0, azaz x = 2

Marad az (x^2+5x+7) másodfokú egyenlet.

Ezt felírva és megoldva kapod a (-5 +- gyök alatt -3)/2 polinomot.

Ennek a megoldásait pedig a komplex számok között kell keresned, egyik megoldás az (i*gyök3)/2 - 5/2, a másik pedig a (-i*gyök3)/2 - 5/2.

Így tehát 3 megoldása van az egyenletnek (n-edfokú egyenletnek pontosan n db megoldása van.), ebből 1 a valós, ill. 2 pedig a komplex számok halmazán.

Remélem segítettem.

Ha pedig kalkulusra kell, deriválod a függvényt:

(x^3+3x^2-3x-14)'=3x^2+6x-3, azt kell megnézni, hogy ez hol 0:

3x^2+6x-3=0

x^2+2x-1=0

x(1;2)=(-2+-gyök(8))/2=-1+-gyök(2), ez azt jelenti, hogy a polinomnak két (lokális vagy globális) szélsőértéke van. Meg kell vizsgálnunk a függvényértékek előjelét a (-végtelen;-1-gyök(2)) ; (-1-gyök(2);1+gyök(2)) ; (-1+gyök(2);végtelen) intervallumokon, ezt egyszerűen úgy tudjuk megtenni, hogy az intervallumokról tetszőleges számot kiválasztunk:

-ha x=-10, akkor -1000+300-30-14=-744, tehát a (-végtelen;-1-gyök(2)) intervallumon a függvényérték negatív

-ha x=0, akkor 0+0+0-14=-14, tehát a (-1-gyök(2);gyök(2)) intervallumon a függvényérték negatív

-ha x=10, akkor 1000+300+30+14=1344, tehát a (-1+gyök(2); végtelen) intervallumon a függvényérték pozitív.

(Az egyszerűség kedvéért a fenti levezetésben ha van 0 függvényérték, akkor az egyszerre pozitív és negatív is.)

Az első két intervallum között nincs előjelváltás, a második és a harmadik között igen. A Bolzano-Weierstrass-tétel értelmében, mivel a (0;10) intervallumon felvesz negatív és pozitív értékeket is, és a függvény folytonos, ezért a 0-t is valahol fel kell vennie. Mivel több lokális/globális szélsőérték nincs, ezért minden valós gyökről tudunk, ez azt jelenti, hogy az egyenletnek 1 valós gyöke van. Mivel tudjuk, hogy a komplex számok halmazán egy n-edfokú polinomnak pontosan annyi gyöke van, mint amennyi a fokszáma, ezért ennek a harmadfokúnak pontosan 3 gyöke van, és mivel 1 valós, ezért 2 komplex (amikről pedig azt tudjuk, hogy egymás konjugáltjai lesznek, mivel egy valós együtthatójú polinomnak ha gyöke z, akkor z konjugáltja is az lesz).