Valaki segítene egy matek feladat megoldásában, magyarázattal?
A=(n+1/2n+3∈R : n∈N) az a kérdés, hogy korlátos e alulról és felülről ez a halmaz és meg kell határozni a sup A-t illetve az inf A-t. És van-e az A halmaznak legnagyobb, illetve legkisebb eleme?
Valaki eltudná ezt magyarázni, hogy ha van egy halmazom ettől akár még bonyolultabb is akkor, hogyan kell eldönteni a korlátosságot, aztán, hogyan kell meghatározni a sup és inf-et a halmaznak és azt, honnan tudom, hogy van-e legnagyobb és legkisebb eleme a halmaznak? Köszönöm előre a segítséget!
A matematikai analízis mint tárgy arról szól (az elején), hogy konkrét függvényeket analizálsz. Azaz szépen kézzel megnézed hogy milyen tulajdonságai vannak a konkrét függvényednek.
Nincsen rá általános módszer. (Körülbelül ekvivalens a megállási problémával, vagy azzal, hogy egy vírusírtó/debugger nem tudja eldönteni hogy mit fog csinálni a program)
Általában nem adnak fel durva halmazokat, csak olyanokat, ahol viszonylag egyértelmű hogy mit kell velük (a konkrét halmazokkal) csinálni.
Például amit kaptál az polinom/polinom alakú sorozat, ezekről lényegében mindent tudni lehet. (Sokkal durvábbakat nem fogsz kapni.)
Ez egy idő után monoton, tehát elég az első néhány tagját + a farkát megnézned, hogy mit csinál.
Alulról korlátos? Persze, pozitív számok hányadosa > 0, az jó alsó korlát.
Felülről korlátos? Persze, 100 jó felső korlát (miért? Kibütykölöd kézzel)
Infimuma/minimuma? Mivel monoton növő, ezért az infimumát felveszi az első tagjában ami a_0 vagy a_1 igény szerint.
Supremuma? Megsejted az eredményt, majd belátod hogy korlát és tetszőlegesen közel tudsz menni hozzá.
Nem tudok arról, hogy megsejtés nélkül hogyan lehet, lehet-e egyáltalán kezelni. Viszont nem kell túlmisztifikálni sem. A függvényed/sorozatod átalakítod picit:
> (n+1)/(2n+3) = 1/2 * (2n+3)/(2n+3) - 0.5/(2n+3) =
>=1/2 - 0.5/(2n+3)
amely egy hiperbola egyenlete, illetve annak egész helyen felvett pontjai. Könnyen látod hogy ennek a supremuma 1/2, és mondjuk az n(ε) kereséséhez megoldod a következő egyenletet n szerint:
> 0.5/(2n+3) < ε
> 1 < (2n+3)*ε
> (1/ε-3)/2 < n
tehát minden adott ε-ra, ha
> n > (1/ε-3)/2
akkor
> 0.5/(2n+3) < ε
> 1/2 - 0.5/(2n+3) > 1/2 - ε
tehát tetszőlegesen meg tudod közelíteni az 1/2 értéket, még ha el nem is éred
=> nincsen maximum, és a supremum 1/2.
A megsejtés része sem vészes (mondjuk ábrázolod a függvényt, vagy megnézed hogy mit vesz fel nagy n-ekre, vagy becsülgeted úgy, hogy az olyan tagokat, amiket kicsinek gondolsz áthúzod, stb), belátni szintén nem bonyolult, az ε-ra rendezett egyenlőtlenséget kell n-re rendezni.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!