Van-e olyan véges csoport, amelyben pontosan a,2016 b,2017 másodrendű elem van? Bizonyítás?

Igen, a) D63 x (Z2)^5, b) D2016

Dn-nel a 2n elemű diédercsoportot jelölöm, Zn-nel pedig az n elemű ciklikust.

Azt hittem, ide már befejeztem a válaszolást. Pedig még privit is írtál... 2016 nem lehet, mert ez egy páros rendű csoport, mivel van páros rendű eleme, és így a Sylow-tétel szerint a kételemű részcsoportjainak a száma páratlan. A kételemű részcsoportjai pedig pontosan azok a részcsoportok, amelyek az egységelemből és egy másodrendű elemből állnak, azaz pont ugyanannyian vannak, mint a másodrendű elemek.

#3, Cauchynak nincs olyan tétele, amit idézel. A hozzá legközelebbi Cauchy-tétel azt mondja, hogy ha egy véges csoport rendje osztható egy p prímmel, akkor van benne p rendű elem.

Nem csak hogy lézetik, de, -1 mod p ilyen eleme van (0 mod p, ha az egységelemet is beleszámoljuk).

Ha meg van benne legalább 1 db 2-rendû elem, akkor a csoport elemszáma páros.

Például Z3-ban a 3-rendû elemek száma 2 = -1 mod 3.

És az elõbb vezettem le a Sylow-tételbõl, annyira igaz.