Hogyan lehet megmutatni, hogy Z6 (összeadásra nézve) izomorf a Z7-tel (szorzásra nézve), ami szintén izomorf a Z18-cal (szorzásra nézve) ?

Sajnos - felületesség, vagy nem értés miatt - hemzsegnek a rosszul feltett kérdések, de próbáljuk meg kibogozni az értelmüket.

Tekintsük a következő három csoportot:

modulo 6 maradékosztály az összeadással:

< {0,1,2,3,4,5}, + > neutrális elem: 0;

modulo 7 maradékosztály a szorzással:

< {1,2,3,4,5,6} ⋅ > neutrális elem: 1;

modulo 18 redukált maradékosztály a szorzással:

< {1,5,7,11,13,17} ⋅ > neutrális elem: 1;

Mindegyik csoport 6 elemű és ha jobban megnézzük, akkor tényleg izomorfak egymással (mindegyik 6-odrendű ciklikus csoport), az alábbi sorrendek szerinti megfeleltetésben:

0 1 2 3 4 5

1 3 2 6 4 5

1 5 7 17 13 11

Például

2 + 3 ≡ 5 (mod 6)

2⋅6 = 12 ≡ 5 (mod 7)

7⋅17 = 119 ≡ 11 (mod 18)

másik példa:

3 + 5 = 8 ≡ 2 (mod 6)

6⋅5 = 30 ≡ 2 (mod 7)

17⋅11 = 187 ≡ 7 (mod 18)

vagy:

1 + 3 ≡ 4 (mod 6)

3⋅6 = 18 ≡ 4 (mod 7)

5⋅17 = 85 ≡ 13 (mod 18)

Akit érdekel, az ellenőrizze a többit is, illetve készítse el a művelettáblázatokat.