Valaki segítene? Határozzuk meg n egész számot, tudva, hogy (1+i√3) ^n + (1-i√3) ^n =2^n

1+i√3=e^(iπ/3)

1-i√3=e^(-iπ/3)

(1+i√3)^n + (1-i√3)^n = 2^n

e^(inπ/3) + e^(-inπ/3) = 2^n /:2

[e^(inπ/3) + e^(-inπ/3)]/2 = 2^(n-1)

Mivel (e^(ix) + e^(-ix))/2 = cosx

cos(nπ/3) = 2^(n-1)

Innentől megy?

Bocs, ezt egy kicsit benéztem.

1+i√3=2e^(iπ/3)

1-i√3=2e^(-iπ/3)

(1+i√3)^n + (1-i√3)^n = 2^n

2^n ⋅ e^(inπ/3) + 2^n ⋅ e^(-inπ/3) = 2^n /:2^(n+1)

[e^(inπ/3) + e^(-inπ/3)] = 1/2

Mivel (e^(ix) + e^(-ix))/2 = cosx

cos(nπ/3) = 1/2

Innentől megy?

Mindkét izének a 3. hatványa valós.

Megnézed n=1,2,3-ra hogy igaz-e, és megnézed, hogy mi történik, ha n-t hárommal növeled.