Bontsuk fel 12-t két összeadandóra úgy, hogy négyzetösszegük minimális legyen! Ez mit jelent? Levezetnétek?

12=12+0 ; 12^2+0^2=144

12=11+1 ; 11^2+1^2=122

Legyen a két összeadandó a és b. Tudjuk, hogy

a+b = 12.

A négyzetösszegük

a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab.

Itt a felhasználjuk, hogy a számtani és mértani közötti egyenlőtlenség

(a+b)/2 >= gyök(ab)

miatt

2ab <= (a+b)^2 / 2.

Tehát

(a+b)^2 - 2ab >= (a+b)^2 - (a+b)^2/2 = (a+b)^2/2.

A feltételünk miatt ez 12^2/2=72, ez a minimális négyzetösszeg.

Egyenlőség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségben pontosan akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő, tehát

a=b=6.