Egy ABCD négyszög belsejében felvett P pontot kössünk össze a négyszög csúcsaival. A, Keressük meg azt a pontot, amelyre az AP+BP+CP+DP összeg minimális. B, Bizonyítsuk be, hogy ez az összeg nagyobb a négyszög kerületének felénél (? )

(P ∈ A ∨ B ∨ C ∨ D) -bármelyik jó

Erre oldom meg: P ∈ A

Mert, akkor... azt mondjuk,hogy az oldalak hossza egyenlő a-val...

=> AP = 0 ; BP= a; CP=1,5a; DP= a

Tehát, összesen 3,5 a. A kerületének fele pedig 2a.

Én így mutatnám meg:

[link]

Konvex négyszögekre:

s = PA + PB + PC + PD

PA + PC ≥ AC

PB + PD ≥ BD

összeadva:

s ≥ AC + BD ( = átlók összege)

Ha P az átlók metszéspontja, akkor az egyenlőség teljesül, tehát itt van a minimum.

PA + PB > AB

PB + PC > BC

PC + PD > CD

PD + PA > DA

Összeadva:

2(PA + PB + PC + PD) > AB + BC + CD + DA

2s > kerület