Geometria (? )
Üdv!
Két geometria házimban kérnék egy kis segítséget.. :(
1,
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges 3szög esetén (ha a,b,c az oldalak és Sc a c oldalhoz tartozó súlyvonal), hogy (a+b-c)/2 < Sc < (a+b)/2.
Megj: Nyilván háromszög egyenlőtlenséggel kell, a bal oldal ki is jött (Sc+c/2>a és Sc+c/2>b, innen a két egyenlőtlenséget összeadva 2Sc+c>a+b, rendezve és 2-vel osztva (a+b-c)/2<Sc), de a jobb oldal valahogy nem akar sikerülni (gyanítom, hogy az sem lesz sokkal nehezebb, csak nem találom meg a megfelelő egyenlőtlenségeket).
2, Bizonyítsuk, hogy tetszőleges konvex ABCD 4szög esetén (ha az AB szakasz felezőpontja E, a CD szakasz felezőpontja F) |EF|<(|BC|+|AD|)/2.
(kisebegyenlő van, plussz kérdés, hogy mikor áll fenn egyenlőtlenség, de ezt azt hiszem tudom: ha BC és AD párhuzamosak, azaz ABCF egy trapéz, ahol EF az alapokkal párhuzamos középvonal).
Előre is köszönöm, megy a zöld! :)
válasza:Mindkettőnél középpontos tükrözés és paralelogramma a kulcsszó.
1)
A Δ-t tükrözni kell c felezőpontjára, ezzel egy paralelogrammát kapunk,
melyben látszanak az a,b,2sc oldalú Δ-ek
2)
Tükrözzük a négyszöget az F pontra.
Az ABA'B' négyszög paralelogramma, mert AB=A'B' és AB||A'B'
EF a paralelogramma középvonala és AB'=BA'=EF
Az ADB' Δ-re kell felírni a Δ egyenlőtlenséget
AD+DB' ≥ AB'
⇓
AD+BC ≥ EF
Egyenlőség ⇔ AD+DB'= AB' ⇔ AD||DB',
ahogyan sejtetted.
válasza:Bocs, 2)-ben egy betűt elírtam:
néhány helyen EF helyett EE'-nek kellene lennie.
Inkább az egészet javítom:
-----------------------------
2)
Tükrözzük a négyszöget az F pontra.
Az ABA'B' négyszög paralelogramma, mert AB=A'B' és AB||A'B'
EE' a paralelogramma középvonala és AB'=BA'=EE' (=2EF)
Az ADB' Δ-re kell felírni a Δ egyenlőtlenséget
AD+DB' ≥ AB'
⇓
AD+BC ≥ EE'
⇓
AD+BC ≥ 2EF
Egyenlőség ⇔ AD+DB'= AB' ⇔ AD||DB',
(A,D,B' egy egyenesen vannak)
ahogyan sejtetted
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!