Egy fal mellett 1000m2-es téglalap alakú területet szeretnénk lekeríteni (3 oldalra kell kerítés! ). A kerítés fallal párhuzamos része 800Ft/m, a másik 2 oldalon 600Ft/m . Mekkorák legyenek a téglalap oldalai, hogy a kerítés ára minimális legyen?

Hogyha 1000m^2 a terület területe, és ha a rövidebbik oldal hossza x, akkor a hosszabbik oldal hossza 1000/x. Ebben az esetben a kerítésre szánt pénz 2*600*x+800*1000/x=

=1200*x+800000/x

Itt most azt kellene tudni, hogy használhattok-e deriválást vagy sem; ha nem, akkor közepekkel érdemes számolni; ha ezt elfelezzük, akkor az 1200x és a 80000/x számok átlagát kapjuk, arról pedig tudjuk, hogy legalább akkora lehet, mint a két szám mértani közepe, vagyis felírhatjuk ezt az egyenlőtlenséget:

(1200x+80000/x)/2>=négyzetgyök(1200*x*800000/x), vagyis

(1200x+80000/x)/2>=négyzetgyök(960.000.000)=~30983,8677, ha ezt megszorozzuk 2-vel:

1200x+80000/x>=61967,7354, vagyis a kerítés minimális ára ~62.000 forint.

Ez akkor áll elő, hogyha a két szám egyenlő (a számtani és mértani közép akkor egyenlő, hogyha a számok egyenlőek), tehát egyenlővé kell tenni a tagokat:

1200*x=80000/x

1200*x^2=80000

x^2=200/3

x=10*négyzetgyök(2/3)=~8,165, tehát ha az oldalak 8,165 és 1000/8,165=~122,474 méter hosszúak.

Ha szabad deriválni, akkor deriválni kell:

(1200x+80000/x)'=1200-80000/x^2, ennek ha az értéke 0, akkor az eredeti függvénynek szélsőérték helye lehet:

1200-80000/x^2=0

1200=80000/x^2

1200*x^2=80000

x=~8,165

Mivel a függvény a pozitív számok halmazán mindenhol differenciálható, és csak 1 gyököt kaptunk, ezért csak 1 szélsőérték lehet. most azt kell megnézni, hogy ez szélsőérték-e, és ha igen, milyen, ehhez azt kell megnézni, hogy a (0;8,165) és a (8,165;végtelen) intervallumokon milyen a deriváltfüggvény előjele; ha x=1, akkor negatív, tehát a (0;8,165) intervallumon csökken az eredeti függvény, ha x=10, akkor pozitív, tehát nő. Ez azt jelenti, hogy a függvénynek minimuma van a kiszámolt helyen. A többi számítás ugyanúgy megy, mint az első esetben.

Ha valami nem érthető, kérdezz bátran!

Bocs, most látom csak, hogy írtál.

Igen, ez így jó, ha meg tudsz deriválni, akkor felbontod a zárójelet, kapsz egy másodfokú egyenletet, azt deriválod, és megnézed, hogy az így kapott elsőfokú egyenlet hol 0. Ott lesz a maximuma.

Deriválás nélkül is meg lehet oldani, elvégre a másodfokú függvényeknek régen is tudtuk, hogy hol a maximuma/minimuma.