A mértani sornak miért van összege?

Nem annyi lesz az összege, hanem ahhoz a számhoz fog tartani; megadunk egy sorozatot, mely tetszőleges n-re megadja a tagok összegét a(1)-től a(n)-ig, ez a tanultak alapján így fog kinézni: 1*((1/2)^n-1)/(1/2-1)=-2*((1/2)^n-1)=-2*(1/2)^n+2

Ha n->végtelen, akkor (1/2)^n->0, vagyis -2*(1/2)^n->0, tehát a sorozat végtelenben vett határértéke 0+2=2. Ez persze nem jelenti azt, hogy el is éri, hanem "tetszőlegesen (de nem 0) közel kerül az összeg a 2-höz).

Azt is tudjuk, hogy ez az összeg csak akkor lehet véges, hogyha |q|<1, máskülönben a sorozat maga sem lenne korlátos (az meg ugye szükséges feltétel).

Azért lesz az az összege, mert magát a sor összeget definiáljuk úgy, azzal a limeses képlettel. Ez is egyfajta matematikai absztrakció, de a gyakorlat azt mutatja, hogy ez jól működik, és szemléletes is.

Lehetne definiálni más sorösszegeket is, akár eredetileg divergens sorok esetére is.

Csak ugye olyat nem tanultatok, mert általában ezt a klasszikus sorösszeget definiálják. Szóval a kérdésre a válasz az, hogy azért, mert ha van egy szum ak sorod, és annak az összegképlete egy n-edik tagra Sn, akkor a végtelen sor összege DEF. szerint S=lim(Sn) ha n->végtelen.

Mert a sor összege a részletösszegek sorozatának határértéke.

A részletösszegek sorozata:

S1=a1

S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3

.

.

.

Sn=a1+a2+a3+...+an

Így kapsz egy sorozatot, melynek tagjai S1, S2, S3,..., Sn,...

Ennek a sorozatnak pedig van egy határértéke (a1/(1-q)), és ezt a határértéket nevezzük a mértani sor összegének.

Mert az összeg bármelyik 2-nél kisebb számnál nagyobb lesz, ha elegendő tagot adunk össze, de 2-nél mindig kisebb.

Igen, az összeg definíciója itt a részletösszegekből alkotott sor határértéke.