Egy számtani sorozat első 5 tagjának összege 20. A 2. ,3. és az 5. tag, ebben a sorrendben egy mértani sorozat szomszédos tagjai. Számtani sorozat első 5 tagja?

a számok legyenek: a,b,c,d,e

a számtani sorozat állandója legyen: n

a mértani sorozat állandója legyen: m

a számtani sorozat két szomszédos tagja közül a nagyobbik mindig: n-el nagyobb a kisebbiknél

a mértani sorozat két szomszédos tagja közül a nagyobbik mindig a kisebbik: m-szerese

A számtani sorozat tagjainak összege 20:

a + b + c + d + e = 20, azaz:

1. a + a + n + a + 2n + a + 3n + a + 4n = 5a + 10n = 20

2. b - n + b + b + n + b + 2n + b + 3n = 5b + 5n = 20

3. c - 2n + c - n + c + c + n + c + 2n = 5c = 20

4. d - 3n + d - 2n + d - n + d + d + n = 5d - 5n = 20

5. e - 4n + e - 3n + e - 2n + e - n + e = 5e - 10n = 20

A 3. egyenletből tudom, hogy c = 4

A mértani sorozat ismeretlen tagjai b, c, e (2. 3. 5. tag)

6. b = c/m = 4/m

7. e = c*m = 4*m

Behelyettesítem a b-t a 2. egyenletbe:

8. 20/m + 5n = 20

Behelyettesítem az e-t az 5. egyenletbe:

9. 20m - 10n = 20

A 8. egyenletből kifejezem az n-t:

10. n = 20/5 - 20/5m = 4 - 4/m

Behelyettesítek a 9. egyenletbe:

20m - 10*(4-4/m) = 20

20m - 40 + 40/m = 20

m - 2 + 2/m = 1

m - 3 + 2/m = 0

m^2 - 3m + 2 = 0

Ebből m1 = 2, m2 = 1

Behelyettesitve a 10. egyenletbe: n = 4 - 4/m

n1 = 2

n2 = 0

Ez esetben nem voltam pontos, a feladatnak két megoldása van.

Az egyik: (m1 = 2, n1 = 2)

a = 0, b = 2, c = 4, d = 6, e = 8

a + b + c + d + e = 20, c = 2*b, e = 2*c

A másik: (m2 = 1, n2 = 0)

a = b = c = d = e = 4

a + b + c + d + e = 20, c = 1*b, e = 1*c

Szóval 0, 2, 4, 6, 8 és 4, 4, 4, 4, 4