Az 1,2,3, . , n sorozatból kivettünk egy elemet, így a maradék számok átlaga 5540/21 lett. Melyik számot vettük ki, és hány tagú volt az eredetisorozat?

Gauss után 1-től n-ig a számok összege (1+n)*n/2. A 21-es osztóból arra következtethetünk, hogy 21*k+1 darab szám van (k pozitív egész), mert ekkor ha elveszünk egy számot, és azok összege 5540*k, akkor az átlag (5540*k)/(21*k)=5540/21 lesz. Tehát n=21k+1, ekkor a számok összege (1+21k+1)*(21k+1)/2 = (21k+2)*(21k+1)/2 = (441k^2+63k+2)/2, ennek többnek kell lennie 5540k-nál, tehát

(441k^2+63k+2)/2>5540k, ezt meg tudjuk oldani középiskolás módszerekkel, de maradjunk a WolframAlphánál:

[link]

ebből ami minket érint, az a k>24,9817..., ebből azt látjuk, hogy k>=25 lesz a megoldás.

Viszont az csak egy szükséges feltétel, hogy az összeg több legyen; ha túl sok, vagyis bármely tag elhagyása után az összeg 5540k-nál több lesz, az átlag nem lesz 5540/21, tehát maximalizálnunk kell k értékét; a legnagyobb változást úgy érhetjük el, hogyha a legnagyobb tagot hagyjuk el, tehát az összeg legfeljebb 5540k+21k+1=5561k+1 lehet, tehát

(441k^2+63k+2)/2<5561k+1, szintén WolframAlphával:

[link]

ebből azt kapjuk, hogy k<=25,0771..., a két számítást egybevetve azt kapjuk, hogy csak k=25 jöhet számításba, ez azt jelenti, hogy a sorozat 21*25+1=526 tagból áll, így a legnagyobb tagja 526.

Ebben az esetben a tagok összege 527*526/2=138601, arra hajtunk, hogy az összeg 5540*25=138500 legyen, ehhez az 138601-138500=101-es tagot kell elhagynunk. Ekkor a tagok átlaga 138500/525, itt egyszerűsítünk 25-tel, tehát 5540/21-et kapunk átlagnak.

A számítások alapján több megoldás nincs, de le lehet ellenőrizni, hogy k=24-re nem elég a számok összege, k=26-ra pedig már túl sok.

Ha valami nem világos, lehet kérdezni :)