Mi a valószinűsége annak, hogy 100 érmedobásból lesz 7egyforma egymást követő dobás?

Faktoriálissal sajnos nem igazán megy...

Ez nagyon nehéz probléma, hol tanulsz, hogy ilyet kell megoldani?

Jóval egyszerűbb, de még mindig nehéz kérdés mondjuk az, hogy mennyi a valószínűsége, hogy 100 dobásból 7 egymást követő FEJ lesz.

(7 fej lehet úgy is, hogy van egyetlen 7 hosszú fej-futam, de lehet úgy is, hogy több is van, és persze lehet úgy is, hogy 7-nél hosszabb valamelyik futam.)

Ez az egyszerűbb feladat mondjuk így oldható meg:

Jelöljük G(n)-nel annak a valószínűségét, hogy n dobásból van legalább 7 hosszú fej futam. A kérdés most G(100) értéke.

Az egyértelmű, hogy

G(0) = G(1) = G(2) = G(3) = G(4) = G(5) = G(6) = 0

G(7) = 1/2⁷

A többire pedig rekurzív képlet adható:

Mennyi G(n)? Ha n-1 dobásnál volt már 7 hosszú futam (aminek a valószínűsége G(n-1)), akkor a valószínűség nem változik újabb dobásokkal már. Ha viszont nem volt még, akkor n-8 dobásnál sem volt még. Annak a valószínűsége 1-G(n-8). Ha ez után jön egy ÍFFFFFFF sorozat, aminek a valószínűsége 1/2⁸, akkor lett legalább 7 hosszú fej futamunk. Összességében tehát a valószínűség ennyi:

G(n) = G(n-1) + (1-G(n-8))/2⁸

Kész. Picit hasonlít a Fibonacci sorozatra. Nem ad zárt képletet G(100)-ra, de számítógéppel kiszámolható az értéke.

Annak belátását rád bízom, hogy miért kell egy írást is odarakni a 7 darab fej futam elé a fenti számolásban (akkor is, ha esetleg az n-8 hosszú futam is írásra végződne).

---

Az eredeti problémádhoz nem visz nagyon közel. fej vagy írás sorozat valósæínűsége nem ennek a duplája lesz, hisz itt ha nincs is 7 hosszú fej sorozat, nyugodtan lehet akár 100 hosszú írás sorozat is. Ez a módosított feladat az írások hosszára nem ad kikötést.

bongolo gondolatmenete szerintem - kis módosítással - itt is használható.

N dobásnál a (legalább) M egyforma dobás („futam”) valószínűségére vagyunk kíváncsiak.

(2 ≤ M ≤ N)

A valószínűséget jelöljük P(N)-nel.

P(0) = P(1) = … = P(M-1) = 0 és

P(M) = 2/2^M

Annak esélye, hogy az N-ik lépésben keletkezik ilyen futam, de addig még nem volt:

P(N)-P(N-1) = (1-P(N-M))*1/2^M

Az egyenletben több mindent meg kellene indokolni, melyeket bongolo már megtett, vagy utalt rá,

de aki esetleg nem érti, az rákérdezhet.

A rekurziót programmal kiszámoltam, P(100) = 0,54234… jött ki.

Ettől függetlenül kísérletileg is készítettem statisztikát.

A 100 dobás szimulációját 1000000000-szor (egymilliárdszor) lefuttatva, 0,54705… jött ki.

Még nem tudom az eltérés okát, bár gyakorlati szempontból a ½% talán nem túl nagy.

Nekem is az lett volna az első kérdésem, hogy honnan való a feladat?

Persze iskolától függetlenül, véletlen folyamatok, szerencsejátékok vizsgálatánál is előjöhet.

Pl. 100 dobásos játéknál fogadást lehet kötni a leghosszabb „futam”-ra

(annak esélye, hogy N dobásnál M a leghosszabb futam:

az M -re vonatkozó P(N)-ből kivonandó a az M+1 -re vonatkozó P(N))

és a casino tulajdonosa szeretné tudni, hogy milyen oddsokat adjon az egyes tippekre?

Igazad van, tényleg meg lehet így fogni a problémát.

Ha jól értem, az volt a gondolatmeneted, hogy ha az N-M hosszú dobás-sorozat végén fej van, akkor M darab írás, ha meg írás van, akkor M darab fej esetén keletkezik a kívánt futam. Ennek valószínűsége (1-P(N-M)) / 2^M

Gratulálok!

A szimuláció eredménye nagyon attól függ, milyen véletlenszám-generátort használsz. Én kipróbáltam most háromfélével:

- Egy egyszerű lineáris kongruencia generátorral 0.519599 (ez láthatólag elég rossz)

- Az MSVC beépített rand() függvényével 0.542357 (a felső bitekkel, mert az alsók nem valami jók)

- Egy lineáris visszacsatolt shift regiszteres generátorral 0.542317

A valódi érték 0.542337

(Az MSVC gyakorlatilag 100 millió után már stabilan ezt az értéket adta egymilliárdig, a shift-regiszteres csak 600 millió után; az sokkal véletlenebb.)

Kedves kérdező, te is írj most már valamit :)