Ezt az egyenletet, hogy kell megoldani (lent)?

A bal oldalt át tudjuk írni így: 7*(x+1/x). Tegyük fel, hogy x pozitív, ekkor tudjuk, hogy x+1/x értéke legalább 2 (ha pedig nem tudod, könnyű belátni; felírod ezt az egyenlőtlenséget: x+1/x>=2, a vége az lesz, hogy (x-1)^2>=0, ez tetszőleges x-re igaz, x=1 esetén lesz egyenlőség (1+1=2)). Ez azt jelenti, hogy a bal oldal értéke legalább 14. A jobb oldalon 14-valaminemnegatívszám van, tehát ennek legfeljebb 14 lehet az értéke, tehát az egyenletnek csak akkor lehet megoldása, hogyha mindkét oldal értéke 14. Láss csodát, ez pont x=1 esetén lesz csak igaz. Persze, ha x pozitív.

Ha x negatív, akkor a bal oldal értéke legfeljebb -14 (ezt ugyanúgy lehet belátni, mint pozitív x-re, vagy abból kiindulva, hogy az x+1/x függvény páratlan, tehát középpontosan szimmetrikus az origóra). A jobb oldal értéke ekkor 13 és 14 között mozog, tehát az életben nem lesznek egyenlőek.

Tehát x=1 az egyetlen megoldása az egyenletnek.

Igen, ez akkor lenne jó, hogyha x csak egész lehetne, de az egyenlet értelmezési tartománya a valós számok halmaza, tehát x értéke a [-1;1] intervallumnak eleme (ráadásul a -1-et ki is hagytad a buliból).

Ha az embernek nagyon nincs ötlete, akkor elkezd próbálgatni (persze itt most elég "kevés" lehetőség van, így nem látszik, hogy a bal oldal hogyan is viselkedik), mindenesetre ha beírsz egy csomó számot, akkor megkapod, hogy 14-nél sose lesz kevesebb a bal oldal, x=1 esetén lesz pont 14. Ekkor esetleg megpróbálod belátni, hogy ez miért van így (egyébként ezt a számtani és mértani közepek közti kapcsolattal is szépen be lehet látni, de mivel azt nem sűrűn tanítják középiskolában, marad a másodfokú egyenlőtlenséges megoldás). Meg persze rutinból is kijön ez; ha sok ilyet csinálsz, egy idő után rájössz, hogy mit kell nézni, hogy megúszd a hosszú számolásokat.