Cos (gyök x) -et hogyan integrálom?

Néha érdemes a deriválással kezdeni a próbálkozást:

d/dx[2*gyök(x)*sin(gyök(x))]=cos(gyök(x))+sin(gyök(x))/gyök(x).

d/dx[2*cos(gyök(x))]=-sin(gyök(x))/gyök(x)

Tehát int[cos(gyök(x))]dx=2*cos(gyök(x))+2*gyök(x)*sin(gyök(x))+C

Sz. Gy.

Első vagyok, van még egy meglepően praktikus módszer, feltéve, ha az ember ért valamit a komplex függvényekhez. Az Euler-formula értelmében ugyanis:

cos[gyök(x)]=(1/2)*[e^(i*gyök(x))+e^(-i*gyök(x))].

Alkalmazzuk az e^(i*gyök(x))=t helyettesítést! Ezzel x=-(ln(t))^2, amiből dx=-2*ln(t)/t, így az integrandus -ln(t)-ln(t)/t^2, ami ránézésre integrálható és kapjuk hogy:

-t*ln(t)+t+1/t+ln(t)/t, majd visszahelyettesítve:

-e^(i*gyök(x))*ln(e^(i*gyök(x)))+e^(i*gyök(x))+e^(-i*gyök(x))+ln(e^(i*gyök(x)))/e^(i*gyök(x)), ahol az ln nyílván kiesik és adódik, hogy:

e^(i*gyök(x))+e^(-i*gyök(x))+gyök(x)*[e^(i*gyök(x)-e^(-i*gyök(x)))]/i, ami nyílván ekvivalens a második válaszoló által adott eredménnyel, hiszen:

sin(x)=[e^(i*gyök(x))-e^(-i*gyök(x))]/2i, vagyis a keresett primitív függvény:

2*cos(gyök(x))+2*gyök(x)*sin(gyök(x))+konst.