Mi a követkeőz egyenlet megoldása a komplex számok halmazán?

z = 2-3 (-1)^(1/4) vagy

z = 2+3 (-1)^(1/4) vagy

z = 2-3 (-1)^(3/4) vagy

z = 2+3 (-1)^(3/4)

Az első válasz nincs befejezve...

(x-2)⁴ = −81

(x-2)⁴ = −1 · 3⁴

Ebben az egyenletben a -1 az érdekes, minden más a negyedik hatványon van. Mi az a komplex szám, aminek a negyedik hatványa -1?

Ezt vagy tudod fejből (valószínű vettétek már), vagy ki kell számolni:

Hatványozáshoz meg gyökvonáshoz a komplex szám geometriai modelljét érdemes használni. A komplex síkon a -1 φ = 180 foknál tehát π-nél van, a hossza pedig r = 1. A π ugyanaz, mint a π+2kπ (mert akárhányszor fordulunk körbe, ugyanoda jutunk. Ennek a negyedik gyökei (π + 2kπ)/4 szögűek, amik ezeket a szögeket jelentik:

k=0 → π/4

k=1 → π/4 + π/2

k=2 → π/4 + π

k=3 → π/4 + 3π/2

A többi k már nem érdekes, mert ugyanezek jönnének ki belőle (plusz egy-két-stb. fordulattal).

Ezekhez a szögekhez tartozó komplex számok a cos φ + i·sin φ képlet szerint:

π/4 → √2/2 + i·√2/2

3π/4 → −√2/2 + i·√2/2

5π/4 → −√2/2 − i·√2/2

7π/4 → √2/2 − i·√2/2

Ezeknek mindnek a negyedik hatványa -1.

Most már negyedik gyököt tudunk vonna a fenti második egyenletből, 4 megoldása lesz. Mondjuk az első ez:

x-2 = (√2/2 + i·√2/2) · 3

Ebből fejezd ki az x-et, aztán a maradék hármat is fel kell írni.