Hogyan oldjuk meg az alabbi egyenletet a komplex szamok halmazan?

itt a két hatvány egyenlő, így ezek absz. értéke is egyenlő

mivel a hatványozás a szám abszolútértékét (hosszát) is hatványozza, ezért az x+i és x-i hossza is egyenlő

legyen x=a+bi

ekkor x+i=a+(b+1)i és x-i=a+(b-1)i

ezek absz. értéke:

gyök[a^2+(b+1)^2] = gyök[a^2+(b-1)^2)]

ezt alakítgatva:

2b=-2b

4b=0

b=0

ez annyit jelent, hogy x tisztán valós szám lehet csak

ekkor a két hatvány hossza azonos lesz, de még nem biztos, hogy a két hatvány is azonos!!

folyt:

most tehát x+i és x-i egymás konjugáltjai, ezért felírhatók r*e^(i*fi) és r*e^(i*-fi) alakban

ezek hatványai egyenlőek:

r^n*e^(i*n*fi) = r^n*e^(i*n*-fi)

oszthatunk r^n-nel:

e^(i*n*fi) = e^(-i*n*fi)

e^(i*2n*fi) = 1

ekkor 2n*fi= 2Pi

vagyis fi = Pi/n

mivel a+bi esetben tg(fi) = b/a,

ezért esetünkben tg(fi) = 1/x

ekkor x = ctg(Pi/n)

ennek n=1 esetben nincs megoldása, más esetben van

n=0 esetben bármilyen x jó megoldás.

(x + i)^n = (x − i)^n

Ha két szám n-edik hatványa megegyezik, akkor eredetileg azonos volt az abszolútértékük, azaz |x+i| = |x-i|

Ha az x szám a+bi alakú, akkor a fenti egyenlet:

gyök(a^2 + (b+1)^2) = gyök(a^2 + (b-1)^2)

amiből b=0 adódik.

Tehát a keresett x szám valós, x+i és x-i épp egymás konjugáltjai.

Ha két n-edik hatvány megegyezik, akkor hosszuk egyenlő, a szögük eltérése pedig k*2Pi/n, ahol k egész.

De a két szám egymás konjugáltja, azaz bezárt szögük az x+i irányszögének kétszerese. Így x+i irányszöge k*Pi/n.

Az irányszög tangensét felírva:

1/x = tg(k*Pi/n).

Ekkor

x = ctg(k*Pi/n).

Szép feladat! Ugye nem baj, hogy okoskodással oldottam meg? Lehet, hogy van egyszerűbb algebrai megoldás is...

Parafagólem megelőzött, nálam jobban is magyaráz, de hiányos a megoldása:

"ekkor 2n*fi= 2Pi "

helyett

2n*fi= 2k*Pi

és akkor ugyanaz jön ki neki is, mint nekem...