Mi a megoldása a komplex számok halmazán a következő egyenletnek? |z|^5 + z^5 = (1 + gyök2) +i
Ha megnézed az f(z)= |z|^5 + z^5 -(1 + gyök2) - i (C-->C) függvényt kell elemezni. z=a+i*b feltételezéssel élve egy nem könnyű kétismeretlenes egyenletrendszerhez jutunk, ahol im(f(z))=5·a^4·b - 10·a^2·b^3 + b^5 - 1 és
re(f(z))=
WolframAlpha szerint f(z)=0 egyenlet ekvivalens 2*z^5=1+sqrt(2)+i egyenlettel.
f(z) gyöke a z=-(1+i)/2^(2/5) komplex szám. Viszont a komplex számok között a 5-dik gyök 5 értékű leképezést ad. Innen az 5 db. gyökhöz kell jutnunk. A befejezéshez bizonyítani kellene az említett ekvivalenciát és be kellene látni, hogy 2^(1/5) ötértékű.
Sz. Gy.
trig. alakba írtam, kiemeltem |z|^5 -t és abból két komplex szám egyenlőségét kaptam. ezeknek valós és képzetes része meg kell egyezzen, azaz:
|z|^5*(1+cos(fi))=1+gyök2
|z|^5*i*sin(fi)=i
Na hát ez nem egyszerű - mondtam magamban -de nicsak! - találtam egy gyököt!
Ez a gyök trig. alakban:
tizedikgyök(2)*(cos45°+isin45°)
Megírtam, hátha előrevisz - pl kiderül, hogy csak ez az egy gyök van vagy hogy ebből kijönne a többi is...
A végét elírtam! Újra:
Ez a gyök trig. alakban:
tizedikgyök(2)*(cos9°+isin9°)
Megírtam, hátha előrevisz - pl kiderül, hogy csak ez az egy gyök van vagy hogy ebből kijönne a többi is...
És van még négy másik gyököm is, el kell forgatni ezt a gyököt 72°-okkal négyszer! Szóval öt gyököt találtam végül.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!