A következő házifeladatot kaptuk, már egy hete ezen gondolkodom, de nem jön ki sehogy sem: Bizonyítsa be, hogy z konjugált=z^n egyenletnek n+2 gyöke van, és határozza is meg ezeket a megoldásokat?

(csillaggal jelölöm majd a konjugáltat)

n = 1-re nem igaz, hisz ott végtelen sok megoldás van (minden valós szám).

n > 1 esetén:

zⁿ = z*

Mivel z és z* hossza azonos, zⁿ hossza is csak akkor lehet ugyanannyi, ha |z| = 0 vagy |z| = 1

|z| = 1

z = e^(iφ)

e^(inφ) = e^(-iφ)

nφ = -φ + 2kπ

(n+1)φ = 2kπ

Ennek gyökei: (k=0,1,2,...)

0

2π/(n+1)

2·2π/(n+1)

3·2π/(n+1)

...

(n+1)·2π/(n+1), de ez már ugyanaz, mint a 0.

Vagyis n+1 megoldás van. Az n+2-edik megoldás pedig a z=0