Egy szabályos négyoldalú gúla magassága 24 cm. Az alaptól milyen távol kell a gúlát az alaplappal párhuzamos síkkal metszeni hogy a síkmetszet területe feleakkora legyen mint az alaplap területe?

Ha szabályos négyoldalú gúla, akkor az alaplapja négyzet.

Ha az alaplap egy oldalát „a”-val jelölöm, akkor a területe a².

A metszet is négyzet alakú. Ha egy oldalát „m”-mel jelölöm, akkor a területe m².

A gúla magasságvonalának talppontjából rajzolható egy egyenes szakasz (legyen”x”), amely valamelyik oldalra merőleges. Az ott lévő, háromszög alakú oldallap magasságvonala az „x” szakasz és a gúla magasságvonala derékszögű háromszöget alkot.

Az alaplapon levő egyenes-szakasz fele olyan hosszú, mint az alaplap oldala, tehát az alaplap területe úgy számolható ki, hogy (2*x)².

A metszeten is rajzolható olyan egyenes-szakasz, mint az alaplapon. Legyen: „y”.

A metszet területe: (2*y)².

A metszet oldaléle és „y” találkozási pontjától is rajzolható az oldallapon a gúla csúcsához egyenes-szakasz. Itt is kialakul egy derékszögű háromszög.

Az a feltétel, hogy (2*x)² = 2 * (2*y)² legyen.

Ezt alakítva:

4*x² = 2 * 4*y²

4*x² = 8*y²

4*x² / 8 = y²

0,5*x² = y²

√(0,5*x²) = y

√(0,5) * x = y

① √(0,5 = y / x

A felső gúla magassága legyen „mf”.

A háromszögek oldalainak aránya:

② mf / 24 = y / x

Az ① és ② összevetéséből:

mf / 24 = √(0,5)

mf = 24 * √(0,5) = 16,9706

És 24 - 16,9706 = 7,0294 cm

V á l a s z :

Az alaptól 7,0294 cm magasságban levő párhuzamos síkkal kell metszeni a gúlát.