Valaki megoldana pár számtani sorozatos feladatot?

Nem írtál semmit arról, hogy meddig jutottál a megoldásokkal, hol akadtál el, mit nem értesz? A feladatokat látva - ha egyiket sem tudtad megoldani -, akkor okom van feltételezni, hogy úgy állsz, mintha sosem tanították volna.

Ezért, a megoldások előtt, írok a számtani sorozatokról.

Egymást, egyforma közönként követő számok. Ha 3-tól kettesével számolsz, akkor egy sorozatot készítesz, amelynek első tagja (legyen „a1”) 3, és a differencia (a szomszédos számok különbsége; legyen „d”), pedig 2.

Az első öt tag: 3, 5, 7, 9, 11. (*** A továbbiakban ezt fogom elemezgetni, mindig ide lehet pillantani. ***)

Látva a sorozatot, néhány felismerés:

- a tagoknak van helyük („sorszámuk”) és van értékük. (A 2. tag sorszáma 2, értéke 5.)

- a sorozat 5 tagja 4 közt tartalmaz. (4 vessző van. De, gondolhatunk a kezünkre is: 5 ujjunk van, és 4 ujjközünk.)

- Hogyan lett a 2. tag? Az előtte levő taghoz hozzáadtuk a különbséget, másképp: differenciát: 3+2=5.

Hogyan lett a 3. tag? Az előtte levő (2.) taghoz hozzáadtuk a differenciát: 5+2=7.

És ez elölről nézve hogyan látszik? Az 1. taghoz hozzáadtuk a differenciát, majd ahhoz mégegyszer hozzáadtuk a differenciát. (3+2+2=7.) Azaz, az 1. taghoz annyiszor adtuk a differenciát, amennyi köz van közte, és az adott tag között. Köz pedig 1-gyel kevesebb van, mint ahányadik tagról van szó. (Kéz, ujjak.)

Akkor, ugorjunk! Hogyan lett az 5. tag? 5-1=4, tehát 4-szer adtuk az első taghoz a differenciát. (Az 1. és 5. tag között 4 köz van, de ez már unalmas ismételgetés.) Vagyis: 3 + (5-1)*2 = 3 + 4*2 = 3 + 8 = 11.

És mi van akkor, ha nem az 1. tag értékét ismerjük, hanem a 3. tagét (és, persze, a differenciát, most is)? A 3. tag értéke, tehát legyen ismert: 7, a differencia pedig marad 2. Az 5. és 3. tag sorszámának különbsége (5-3=) 2. Tehát, a 3. és 5. tag között 2 köz (és egy-egy köz az differencia mértékű) van. (Ahogyan a középső ujjunk és a kisujjunk között.) Eszerint a 3. taghoz 2-szer adtuk a differenciát: 7 + (2*2) = 7 + 4 = 11. (Ha nem számoljuk ki külön előre a közök számát, akkor a kiinduló „képlet”: 7 + (5-3)*2 = …)

És visszafelé? Semmi gond. Ugyanaz, mint eddig volt, csak az előjelekre kell ügyelni. Legyen adott, hogy az 5. tag értéke 11, a differencia 2. Mi a 2. tag értéke? A kérdezett 2. tag az 5. tagtól (5-2=) sorszámú helyen van, köztük a közök száma: (2-5=) -3. (A mutatóujjunk a kisujjunktól 3-mal kisebb sorszámú helyen van, és köztük 3 köz van.) A 2. tag értéke: 11 + [(-3)*2] = 11 + (- 6) = 11 – 6 = 5.

Bármely tag és a differencia ismeretében bármely másik tag értékét ki lehet számolni.

- És ha a differencia nincs megadva?

A 2. tag 5, a 3. tag 7. Mennyi a differencia? A szomszédos számok különbsége, tehát 7-5=2.

És ha távolabbi tagok értékei vannak megadva? A 2. tag értéke 5, az 5. tagé 11.

A 2. és 5. tag között 3 köz (differencia mértékű) van. (5-2=3, a mutató ujjunk és a kisujjunk között 3 ujjköz van.) Vagyis a 2. és 5. tag közt 3 differencia van. Mivel az értékeik különbsége (11-5=) 6, ezt 3 egyenlő részre osztva ( a közök egyenlőek): 6/3 = 2. A differencia tehát: 2.

- Már csak egy dolog van: a sorozat tagjainak összege hogyan számolható ki?

Nézzük a minta-sorozatunkat: 3, 5, 7, 9, 11. Írjuk alá ugyanezt, de fordított sorrendben (jobb, ha kézzel leírod, mert a GYK lopja a szóközöket (tapasztalatom szerint számoknál különösen, és nem tudom hogyan fog megjelenni. Megpróbálok *-okat írni közéjük, de a karakter-ismétléseket sem szokta engedni, csak ha megjelenik fogom látni én is, hogy miként néz ki):

**3**5**7**9*11

*11**9**7**5**3

A lényeg: az egymás alatti számok összege állandó (már, ha tényleg sikerült láttatni). Azért van, mert fordítva változnak, ha az egyik balról jobbra nő, a másik, balról jobbra csökken; méghozzá, ugyanannyival. És mennyi ez a pár-összeg: annyi, mint az 1. és utolsó tag összege. (1. számpár).

Hány ilyen pár van? Ahány tagú sorozat; pontosabban: ahány tagját összegezni akarjuk.

5 tagú a minta sorozatunk, az 1. tag értéke 3, az 5-é pedig 11. Minden számpár (3+11=) összege 14, az 5 számpáré (5*14=) 70.

Igen, de ez a 2 (egymással egyenlő) sorozat összege, tehát az eredeti (egy) sorozat tagjainak összege ennek a fele: (70/2=) 35.

(Ellenőrizzük: 3+5+7+9+11 = 35.)

/ Ez az ötlet, a hagyomány szerint, az ifjú Gausstól ered. /

Tehát már tudunk szakasz-összeget is számolni, ha ismerjük a szakasz 1. és utolsó tagjainak értékeit.

A fentiek úgy bonyolíthatók, hogy

- negatív előjelű tag-értékek és differencia is lehetnek. (Nem baj, a számegyenesen elhelyezve ezt, értelmezhetjük.)

- A tagok és a differencia is lehetnek tört számok. (Ez inkább csak számolástechnikai nehézség, fejben könnyebb 3-mal osztani, mint 6,84-gyel.)

- És az előző kettő együtt is előfordulhat.

Ezután már csak alkalmazni kell ezeket:

① a8=52 a3=18 S12=?

d = ?

8-3 = 5

(52-18)/5 = 34/5 = 6,8 (d = 6,8)

a12 = ?

12-8 = 4

52+(4*6,8) = 52+27,2 = 79,2 (a12 = 79,2)

a1 = ?

3-1 = 2

18-(2*6,8) = 18-13,6 = 4,4 (a1 = 4,4)

S12 = (a1+a12)*n/2 = (4,4+79,2)*12/2 = 83,6*6 = 501,6 (S12 = 501,6)

② a5=106 a10=91 S20=?

d = ?

10-5 = 5

(91- 106)/5 = -15/5 = -3 (d = -3)

a20 = ?

20-10 = 10

91+(10*-3) = 91-30 = 61 (a20 = 61)

a1 = ?

5-1 = 4

106-(4*-3) = 106 + 12 = 118 (a1 = 118)

S20 = (a1+a20)*n/2 = (118+61)*20/2 = 179*10 = 1790 (S20 = 1790)

③ a1=-15 d=4 a10=? Eleme e ennek a sorozatnak a 201? *

a10 = ?

10-1 = 9

-15+(9*4) = -15+36 = 21 (a10 = 21)

201 tagja e a sorozatnak?

(201-(-15))/4 = 216/4 = 54 (Egész szám, tehát tagja. Méghozzá ez az a55.)

* Az „eleme” nem ige. Nem szabad kötőjellel hozzákapcsolni az „e” szócskát. (Tudom, nem te írtad így, kérdező.)

④ Illessz a 15 és 114 közé 32 számot úgy, hogy a megadott számokkal együtt számtani sorozatot alkossanak! Hány elemet kell összeadni, hogy ez az összeg elérje az ezret?

d = ?

(114-15)/33 = 99/33 = 3 (d = 3)

A sorozat:

[15] 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 105 108 111 [114]

a1 = 15 d = 3 S? = 1000

Sx = (a1+ax)*x/2 1000 = (15+ax)*x/2

Nem tudjuk, hogy hány tagot kell összegezni, így nem tudjuk sem az utolsó figyelembe veendő tag értékét, sem pozícióját. De, azt tudjuk, hogy a számtani sorozat úgy képződik, hogy a differenciát adogatjuk hozzá az előző taghoz. Például a 6. tag (a6) úgy adódik, hogy az első taghoz (a1) 5-ször (x-1-szer) adtuk a különbséget (d).

Az összegképletbe ezt behelyettesítve:

1000 = (15+(15+3*(x-1)))*x/2

1000 = (15+15+3*(x-1))*x/2

1000 = (30+3*(x-1))*x/2

1000 = (30+(3*x)-3)*x/2

1000 = (27+(3*x))*x/2

1000 = 27*x/2+3*x²/2

1000 = 13,5*x + 1,5*x²

1,5*x²+13,5*x-1000 = 0

x1 = -30,7091

x2 = 21,7091

21,7091. tag nincs, 21-től nagyobb kell tehát 22.

a22 = a1+(21*3) = 15+63 = 78

(15+78)*22/2 = 93*11 = 1023

A 22. tag 78 és 1023-78 = 945, tehát ha csak 21 tagot adnánk össze, akkor ne érné el az ezret.

⑤ a3=8 a4=5 sn=35 a1=? n=? an=?

d = ?

4-3 = 1

(5-8)/1 = -3/1 = -3 (d = -3)

a1 = ?

3 - 1 = 2

8 – [(2*(-3)] = 8 – (-6) = 8 + 6 = 14 (a1 = 14)

n = ?

Az öszeg-képlettel: 35 = (14 + an)*(n/2)

Mivel an = a1 + ((n-1)*d) = 14 + (n-1)*(-3); ezt az összegképletben „an” helyére írva, már csak az „n” lesz ismeretlen.

35 = (14 + (14+(n-1)*(-3)))*(n/2)

35 = (14 + 14 – 3*n + 3)*(n/2)

35 = (31 – 3*n)*(n/2)

35 = 15,5*n – 1,5*n²

(-1,5)*n² + 15,5*n – 35 = 0

n egyik = 3,3333…

n másik = 7

Itt a 7-nek van értelme. (n=7)

an = ?

an = a1 + (n-1)*d = 14 + 6*(-3) = 14 – 18 = -4. (an = -4)

⑥ a2+a5=32,5 s15=412,5 d=? a1=?

Két összeget ismerünk. Ha sikerül olyan egyenleteket felírnunk, amelyek összesen 2 ismeretlent tartalmaznak, akkor megoldható a feladat.

Ez a két ismeretlen legyen a kérdezett a1 és d.

a2 = a1 + 1*d

a5 = a1 + 4*d

a15 = a1 + 14*d

S15 = (a1+a15) * 15/2 = 412,5

A15 helyébe írjuk be, hogy a1+14*d

(a1 + a1 + 14*d) * 15/2 = 412,5

(2*a1 + 14*d) * 7,5 = 412,5

2*a1 + 14*d = 55 első egyenlet

a2 + a5 = 32,5

a2 és a5 helyébe is írjuk be a1-et és d-t tartalmazó értékeiket:

(a1 + 1*d) + (a1 + 4*d) = 32,5

a1 + d + a1 + 4*d = 32,5

2*a1 + 5*d = 32,5

2*a1 = 32,5 – 5*d

a1 = (32,5 – 5*d) / 2

a1 = 16,25 – 2,5*d második egyenlet

Az első egyenletbe behelyettesítve a második egyenletben levő „a1” értékét:

2 * (16,25 – 2,5*d) + 14*d = 55

32,5 – 5*d + 14*d = 55

32,5 + 9*d = 55

9*d = 22,5

d = 2,5

A második egyenletbe behelyettesítve a kiszámolt „d” értékét:

a1 = 16,25 – 2,5*2,5 = 16,25 – 6,25 = 10

⑦ a8+a5=25 és a3-a10=-21 d=? a1=? S15=?

Hasonlóan lehet kiszámolni, mint az előbbit: két összeget ismerünk, csak „a1” és „d” értékeit használjuk.

a3 = a1 + 2*d

a5 = a1 + 4*d

a8 = a1 + 7*d

a10 = a1 + 9*d

a8 + a5 = 25

(a1 + 7*d) + (a1 + 4*d) = 25

2*a1 + 11*d = 25 első egyenlet

a3 – a 10 = -21

(a1 + 2*d) – (a1 + 9*d) = -21

-7*d = -21

d = 3 a második egyenlet. Helyettesítsük be az elsőbe:

2*a1 + 11*3 = 25

2*a1 = 25 – 11*3

2*a1 = -8

a1 = -4

a15 = a1 + 14*d = -4 + 14*3 = -4 + 42 = 38

S15 = (a1 + a15) * 15/2 = (-4 + 38) * 15/2 = 34 * 7,5 = 255

⑧ Számítsd ki az 5-tel osztható háromjegyű számok összegét!

A 3-jegyű számok tartománya 100 – 999. A 100 osztható 5-tel; a 999 előtti ilyen a 995.

Tehát: a1 = 100 an = 995 d = 5

n = ?

995 – 100 = 895

895/5 = 179

Ha 179 köz van. A közök száma 1-geyl kevesebb (kéz, ujjak, ujjközök), így a 995 a sorozat (179+1=) 180. tagja.

Tehát az elsőtől a száznyolcvanadikig kell összegezni a tagokat, ahol a1=100 és an=995.

S180 = (100+995)*(180/2) = 1095*90 = 98550.