Egy számtani sorozat hatodik tagja 30 tizenegyedik tagja 10. a; Számítsuk ki a sorozatt első tagját és differenciáját b; Mennyi a sorozat első 50 tagjának összege?

Ezt két módon is meg lehet oldani;

ezt szokták tanítani általában az iskolában: tudjuk, hogy

a(6)=30

a(11)=10

tudjuk azt is, hogy tetszőleges n tagra a(n)=a(1)+(n-1)*d összefüggés fennáll, tehát:

a(1)+5d=30

a(1)+10d=10

Ezeknek értelemszerűen egyszerre kell teljesülniük, ezért egyenletrendszerbe foglaljuk őket:

a(1)+5d=30 }

a(1)+10d=10 }

Az egyenlő együtthatók módszerét használva kivonjuk egymásból az egyenleteket:

5d=-20, innen d=-4, így a(1) is meghatározható:

a(1)+5*(-4)=30 -> a(1)=50, tehát a sorozat első tagja 50, differenciája -4.

Másik lehetőség: meggondoljuk, hogy a(6)-hoz hány d-t kell hozzáadni, hogy a(11)-et kapjunk: a(6); a(7); a(8); a(9); a(10); a(11), tehát 5d-t kell hozzáadnunk, tehát

a(6)+5d=a(10), amit tudunk, beírjuk:

30+5d=10, innen szintén d=-4 jön ki. Tudjuk, hogy a(1)+5d=a(6), vagyis a(1)-20=30, így a(1)=50.

Ha ezzel megvagyunk, akkor a sorozat első 50 tagjának összege is két módon határozható meg;

1. Tudjuk, hogy S(n)=(a(1)+a(n))*n/2, tehát a sorozat n-edig tagját kell meghatároznunk, esetünkben n=50, így a(50)-et: a(50)=a(1)+49d=50+49*(-4)=-146, tehát a sorozat első 50 tagjának összege:

S(50)=(50+(-146))*50/2=-2400

Másik lehetőség: a fenti képletet át tudjuk alakítani, mivel tudjuk, hogy a(n)=a(1)+(n+1)*d:

S(n)=(a(1)+a(1)+(n-1)*d)*n/2=(2*a(1)+(n-1)*d)*n/2, innen mindent tudunk; a(1)=50, d=-4, n=50, mivel az első 50 tag összege a kérdés:

S(50)=(2*50+(50-1)*(-4))*50/2=-2400

Ha még így sem érthető valami, kérdezz bátran!