Hogyan tudnék visszavezetni egy negyedfokú egyenletet másodfokúvá úgy, hogy a negyedfokúban van 3. hatvány is?

Ha z = y^2, akkor ["z"-t használok "a" helyett]:

9zy^2 - 12zy - z + 4 = 0

Hiszen y^2 * (9y^2 - 12y - 1) az éppen egyenlő ezzel: 9y^4 - 12y^3 - y^2 (y^2-et emeled ki, amit végül is átírhatsz z-re)

[12y^3-ből nem lesz semmiképp 12z^y! Hiszen 12z^y = 12(y^2)^y.]

A kapott egyenletet megoldóképlettel ki lehet számolni. Ugye a megoldóképlet betűivel:

a = 9z (y^2 együtthatója)

b = -12z (y együtthatója)

c = - z + 4 (konstans)

[Nem számoltam ki, nem tudom, mi a megoldás, csak a te alapötletedből indultam ki.]

Első totál hülyeséget ír. Habár van negyedfokú megoldóképlet, általános esetben egy negyedfokú egyenlet megoldása több nehézségbe is ütközik.

A tied hiányos ugyan, de amint az könnyen belátható, és néhány próbálkozás után magad is rájöttél, hogy nem lehet visszavezetni másodfokúra.

Nyílván az a=y^2 helyettesítés nem célravezető, mert az y^3-ös tagot törtkitevőjű hatvánnyá transzformálja át.

Amit ilyenkor szoktak tenni, az kétféle lehet:

1. Vagy észreveszünk bizonyos spec. eseteket az egyenletben (ha van ilyen).

2. Vagy numerikus módszerhez folyamodunk.

Most az 1. eset használható. Ránézésre látszik u.is. hogy az y1=1 megoldása lesz az egyenletnek.

Így triviális, hogy (y-1)-el való maradéknélküli polinomosztás végezhető, és az

9y^3-3y^2-4y-4=0 tiszta harmadfokú egyenletre jutunk.

Itt már nehéz tenni megállapításokat. Van egy ún. Cardano-formula, ebből kiszámíthatók a gyökök, a következők adódnak:

y2=1/9 (1 + (181 - 6 Sqrt[849])^(1/3) + (181 + 6 Sqrt[849])^(1/3));

y3=1/18 (2 + (-1 - I Sqrt[3]) (181 - 6 Sqrt[849])^(1/3) +

I (I + Sqrt[3]) (181 + 6 Sqrt[849])^(1/3));

y4=1/18 (2 +

I (I + Sqrt[3]) (181 - 6 Sqrt[849])^(

1/3) + (-1 - I Sqrt[3]) (181 + 6 Sqrt[849])^(1/3)).

Az eredményeket numerikusan is megadom:

y2=1.1023;

y3=-0.384486 + 0.505338 i

y4=-0.384486 - 0.505338 i.

Vagyis mind a 4 gyököt megkaptuk, ebből most 2 valós, 2 pedig komplex-konjugált.

Nincs harmadfokú/negyedfokú megoldóképlet tanítás még talán egyetemen sem.

És ennek az a magyarázata, hogy bár szép formulák ezek, de gyakorlatilag használhatatlanok.

Gépészmérnökként azt tudom mondani, hogy bár előfordulnak ilyen egyenletek (sőt magasabbfokúak is!) az ipari gyakorlatban, de soha nem ezeket a formulákat használjuk, mert a számítás rendkívül hosszadalmas.

Ehelyett numerikus módszereket használnak: Értsd, iteráció: a megoldást fokozatos közelítéssel állítják elő, a szükséges pontosságig.

Ja, még annyit, ha utánanézel a Cardano-képletnek, akkor azt találod, ha van egy olyan harmadfokú egyenleted, melynek minden gyöke valós, akkor ennek ellenére a megoldóképletekben komplex-számokkal kell számolnod, vagyis negatív számból kell négyzetgyököt vonni...

Több oldal levezetés egy ilyen és nagyon időigényes.