Miért az a megoldás ami? (matek)

Tanultátok, hogy a C(c1;c2) középpontú, r sugarú kör egyenlete:

(x-c1)^2+(y-c2)^2=r^2

Lehet, hogy más betűkkel tanultátok.

Ha például adott, hogy a kör középpontja (5;6), sugara 8 egység, akkor a képletben c1=5, c2=6, r=8, így a kör egyenlete:

(x-5)^2+(y-6)^2=8^2, vagyis

(x-5)^2+(y-6)^2=64

Hogyha adott egy ilyen alakú köregyenlet, akkor a képlet miatt egyértelműen meg tudjuk határozni a kör középpontját és sugarát; ha például a kör egyenlete

(x-3,5)^2+(y-(1/3))^2=8, akkor ennek a körnek a középpontja a (3,5 ; 1/3) pont, sugara pedig gyök(8) egység (mivel ennek a négyzete 8).

Az olyan alakú köregyenlettel ránézésre nem tudunk mit kezdeni, ellenben a tanultak alapján át tudjuk alakítani, kérdés, hogy hogyan lehetne; ha átrendezzük a tagokat:

(x^2-2x) + (y^2+6y) + 1 = 0

(a zárójelezés a jobb áttekinthetőség miatt van),

akkor észrevehetjük, hogy másodfokú kifejezésekkel van dolgunk. Tanultuk régebben, hogy ezek átírhatóak (x-valamiszám)^2+valamimásikszám alakúra, és persze erre az alakra is kell nekünk átírni, mivel akkor egyértelműen kiolvasható minden az egyenletből.

A tanultak alapján:

x^2-2x=(x-1)^2-1 (ha kibontjuk: =x^2-2x+1-1=x^2-2x, tehát egyenlőek)

y^2+6y=(y+3)^2-9 (kibontásnál megint látjuk, hogy mi a helyzet)

Tehát az egyenlet így alakul át:

(x-1)^2-1 + (y+3)^2-9 + 1=0, a számokat összevonva

(x-1)^2 + (y+3)^2 - 9=0, tehát

(x-1)^2 + (y+3)^2 = 9, az előbbiek miatt ennek a körnek a középpontja (1;-3), sugara 3 egység.

A tankönyvi megoldás gyakorlatilag ugyanaz CSAKHOGY úgy gondolja, hogy könnyű észrevenni, hogy mekkora számot kell hozzáadni a kifejezéshez, hogy teljes négyzetté alakítható legyen (szerintem nem, és máshogy is csinálom (csináltam)). Rendezzük át úgy, ahogy a legelején:

(x^2-2x) + (y^2+6y) + 1 =0

Az első zárójelen belülre rakjunk +1-et, de mivel így változna a bal oldal értéke, rögtön vonjuk is ki:

(x^2-2x+1-1) + (y^2+6y) + 1 =0

A tanultak alapján x^2-2x+1-et teljes négyzetté tudjuk alakítani: =(x-1)^2, ezzel az egyenlet:

((x-1)^2-1) + (y^2+6y) + 1 =0

A másiknál 9-et adjunk hozzá, majd vegyük is el:

((x-1)^2-1) + (y^2+6y+9-9) + 1 =0

y^2+6y+9=(y+3)^2, tehát

((x-1)^2-1) + ((y+3)^2-9) + 1 =0

A külső (szemléltető) zárójeleket elhagyva:

(x-1)^2-1 + (y+3)^2-9 + 1=0

Összevonjuk a számokat:

(x-1)^2 + (y+3)^2 - 9=0, innen

(x-1)^2 + (y+3)^2 =9

És ezt akartuk elérni.

Ha további kérdésed lenne a feladattal kapcsolatban, tedd fel bátran!