Mi a megoldása az alábbi differenciál egyenletnek? (Garantált zöld kéz! )

Mivel a kezdeti értékek adottak, így szerintem a feladatot Laplace-transzformációval a legegyszerűbb megoldani, a számolási hibalehetőség szinte kizárt.

Vegyük mindkét oldal Laplace-trafóját, ekkor:

s*Lw-w(0)+(b/J)*Lw=-M0/(Js).

Ebből kifejezve Lw-át:

Lw=w0*J/(sJ+b)-M0/(Js^2+bs), majd parciális törtekre bontva egyszerűen kapjuk hogy:

Lw=(w0+M0/b)/(s+b/J)-M0/(b*s).

Az inverz-Laplace-transzformált ránézésre kiolvasható, rutinszerűen:

w(t)=(w0+M0/b)*e^(-bt/J)-M0/b.

Remélem, tetszik az ötlet, számomra ez a legegyszerűbb.

A homogén egyenlet általános megoldását egy pillanat alatt ki lehet találni az ω_há(t) = C*e^(a*t) ansatzból:

J*C*e^(a*t)*a + b*C*e^(a*t) = 0,

J*a + b = 0,

a = –b/J,

ω_há = C*e^(–b*t/J).

Az inhomogén egyenlet egy speciális megoldására pedig szerintem általában jó ansatz a valamilyen A konstans (ha véletlen valamikor nem jó, akkor pedig az A*t + B). Ezzel

J*0 + b*A = –M0,

ω_is(t) = A = –M0/b.

Az általános megoldása az egyenletnek a kettő összege:

ω_á(t) = ω_há(t) + ω_is(t) = C*e^(–b*t/J) – M0/b.

Még illeszteni kell a kezdeti feltételeket, abból kijön C:

C – M0/b = ω0,

C = ω0 + M0/b.

A végeredmény

ω(t) = (ω0 + M0/b)*e^(–b*t/J) – M0/b.

Üsd fel a bólyai féle könyvet, abban van rengeteg ilyen példa. Ez egy nagyon elemi feladat, gondolkodás nélkül, mindenféle elméleti háttértudás nélkül, egyszerűen és mechanikusan végigszámolható.

Vagy nézz utána a Laplace-trafónak (mondom, szerintem azzal még egyszerűbb) és akkor már érteni fogod, hogy néhány sorban hogy vezettem le a megoldást.

Semmi bonyolult nincs benne, egyszerűbb példát nem is nagyon lehet adni...