Mi a megoldása az alábbi differenciál egyenletnek? (Garantált zöld kéz! )

A homogén egyenlet általános megoldását egy pillanat alatt ki lehet találni az ω_há(t) = C*e^(a*t) ansatzból:

J*C*e^(a*t)*a + b*C*e^(a*t) = 0,

J*a + b = 0,

a = –b/J,

ω_há = C*e^(–b*t/J).

Az inhomogén egyenlet egy speciális megoldására pedig szerintem általában jó ansatz a valamilyen A konstans (ha véletlen valamikor nem jó, akkor pedig az A*t + B). Ezzel

J*0 + b*A = M0,

ω_is(t) = A = M0/b.

Az általános megoldása az egyenletnek a kettő összege:

ω_á(t) = ω_há(t) + ω_is(t) = C*e^(–b*t/J) + M0/b.

Még illeszteni kell a kezdeti feltételeket, abból kijön C:

C + M0/b = ω0,

C = ω0 – M0/b.

A végeredmény

ω(t) = (ω0 – M0/b)*e^(–b*t/J) + M0/b.

Ellenőrzés:

ω'(t) = –b/J*(ω0 – M0/b)*e^(–b*t/J),

(M0 – b*ω0)*e^(–b*t/J) + (b*ω0 – M0)*e^(–b*t/J) + M0 = M0,

OK.

int=integrate

v(t)=int(b/J)dt=(b/J)t

int((-M/J)*exp((b/J)*t))dt=(-M/J)*(J/b)*(exp(b/J)*t)+M/b

ω(t)=(-M/b*exp(b/J*t)+M/b+ω0)*exp(-(b/J)*t)=(-M/b+(M/b+ω0)*(exp(-(b/J)*t))

Ezt írtad a legvégére:

ω(t) =(-M/b+(M/b+ω0)*(exp(-(b/J)*t)).

Most nézem, hogy nyitó zárójelből is sok van…

Ekkor

dω/dt = –b/J*(M/b+ω0)*(exp(-(b/J)*t)) = 1/J*(–M + ω0*b)*exp(–(b/J)*t).

Az eredeti egyenlet jobb oldalába helyettesítve

J*dω/dt + b*ω = (–M + ω0*b)*exp(–(b/J)*t) + b*(-M/b+(M/b+ω0)*(exp(-(b/J)*t))) = (–M + ω0*b)*exp(–(b/J)*t) + -M + (M + ω0*b)*exp(-b/J*t) =

–M + 2*ω0*b*exp(–b/J*t).

És ez sehogy sem M, aminek pedig lennie kéne. (Képzelj ide sok felkiáltójelet ω0-t meg sin(γ)-t, mert még egyszer nem bogarászom végig, amit leírtál, ha nem teszel bele szóközöket, és minden vackot zárójelbe teszel, még azt is, amit nem kéne. Plusz néha egy kis magyarázat nem ártana, mert v(t)-ről még mindig nem egészen értem, hogy hogy jött ki. Mondjuk valószínűleg az is valami tanult dolog, mint hogy exp(a*x) alakban érdemes keresni az ilyen egyenletek megoldását, csak most nem ugrik be…)

Teljesen lényegtelen, hogy te hogyan akarod lederiválni, t=0 esetén omeganullt kell adnia, ennyi az egész.

"dω/dt = –b/J*(M/b+ω0)*(exp(-(b/J)*t)) = 1/J*(–M + ω0*b)*exp(–(b/J)*t)"

Ezt Te írtad, szerintem ebben megegyezhetünk.

Csak a kettő nem ekvivalens egymással, "-b"-vel beszoroztál, de ott valahogy mégis +ω0 maradt..........

Továbbra is a második vagyok, nem kell nekem hinni, nézzük mit mond Mr. wolframalpha:

[link]

Tehát: x(t)=c*exp((-J/b)*t)-M/b,

kezdeti feltételből, miszerint t=0 estén x=x0

x0=c-M/b

c=x0+M/b

x(t)=(x0+M/b)*exp((-J/b)*t)-M/b, amit fentebb már levezettem.(Az omega helyett x-et használtam.)

De örülök, hogy b/J helyett J/b-t írtam. Na ezért elnézést. A wolframalpha viszont jól írta, így onnét folytatnám:

x(t)=c*exp((-b/J)*t)-M/b

a kezdeti érték felhasználásával->

x0=c-M/b

Így x(t)=(x0+M/b)*exp((-b/J)*t)-M/b. Na, de ez akkor is, amit fent levezettem. :D

> „Teljesen lényegtelen, hogy te hogyan akarod lederiválni, t=0 esetén omeganullt kell adnia, ennyi az egész.”

Ez nagyon nem igaz. Az ω(t) = J*t + ω0 is ω0-t ad t = 0 esetén, tehát ez is jó?

> „»dω/dt = –b/J*(M/b+ω0)*(exp(-(b/J)*t)) = 1/J*(–M + ω0*b)*exp(–(b/J)*t)«

Csak a kettő nem ekvivalens egymással, "-b"-vel beszoroztál, de ott valahogy mégis +ω0 maradt.”

Ez jogos.

És azért is szólhattál volna, hogy ÉN néztem be az előjelet az első hozzászólásomban. A jobb oldalon ugyanis nem +M0 szerepel, amit benéztem. Így a második bekezdésem vége helyesen:

J*0 + b*A = –M0,

ω_is(t) = A = –M0/b.

Innét tovább:

ω_á(t) = ω_há(t) + ω_is(t) = C*e^(–b*t/J) – M0/b

C – M0/b = ω0,

C = ω0 + M0/b.

ω(t) = (ω0 + M0/b)*e^(–b*t/J) – M0/b.

S ez már jó, és egyezik azzal, amit te írtál, és bocsánatot kérek.

Amúgy a WA-ba is lehet kezdeti értéket írni:

[link]