Matematika? Please?!

a) Erre van egy nagyon egyszerű megoldás, viszont vegyünk egy kicsit rövidebb szót:

ALMA

LMA

MA

A

Hányféleképpen lehet kiolvasni az ALMA szót?

A titok abban rejlik, hogy azt kell vizsgálni, hogy a betűkhöz hányféleképpen tudunk eljutni, és ha megfelelő számú betű "eljutási számát" tudjuk, akkor egy másikét is tudjuk. Először csináljuk manuálisan, aztán levonunk egy következtetést; a kiinduló A-hoz 1-féleképpen tudunk eljutni, tehát az első A-t cseréljük le 1-esre:

1LMA

LMA

MA

A

A mellette lévő L-hez 1-féleképpen tudunk eljutni, ugyanúgy az alatta lévő L-hez is:

11MA

1MA

MA

A

Az M-ekre ugyanez igaz (nem azt számoljuk, hogy hány lépésből tudunk odajutni, hanem hány különböző útvonalon, és az csak egyféle; az első sorban lévő M-hez vezető út: jobbra-jobbra, a lentihez le-le), tehát:

111A

1MA

1A

A

A két szélső A szintén 1 lehetőségre van (jobbra-jobbra-jobbra, és le-le-le):

1111

1MA

1A

1

Most nézzük, hogy a megmaradt M-hez hányféleképpen tudunk eljutni: jobbra-le, le-jobbra, más nincs, ez 2. Tehát:

1111

12A

1A

1

Az A-hoz 3 lehetőségünk van; a fentihez: jobbra-jobbra-le, jobbra-le-jobbra, le-jobbra-jobbra, az alsóhoz jobbra-le-le, le-jobbra-le, le-le-jobbra, tehát:

1111

123

13

1

A végeredmény: Az utolsó számokat össze kell adni 8elvégre az ALMA ott végződik): 1+3+3+1=8-féleképpen olvasható ki.

Most nézzük meg, hogy hogyan lehetett volna egyszerűbben kiszámolni anélkül, hogy végignéztük volna, hogy a bizonyos betűkhöz hányféleképpen lehet eljutni; nézzük a második sor utolsó A-ját: tudjuk, hogy a felette lévő M-hez 1-féleképpen tudunk eljutni, tehát onnan biztos, hogy 1-féleképpen tudunk eljutni az A-hoz. A mellette lévő M-hez 2-féleképpen tudtunk eljutni, tehát arról, ha ellépünk, akkor 2 utat tudunk mutatni az A-hoz. Tehát összesen 1+2=3-féleképpen tudunk az A-hoz eljutni. Ezt bármelyik betűvel el lehet játszani.

Tehát a kitöltés menete:

-Az első sorba és az első oszlopba csak 1-eseket írunk.

-Az összes többi betűnek úgy adjuk meg a számát, hogy a közvetlen fölötte és közvetlen mellette lévő számokat összeadjuk

-Az utolsó betűk helyére került számok összege lesz az, hogy hányféleképpen lehet kiolvasni.

Elkezdem, te próbáld befejezni:

111111111

12345678

136

14

15

16

17

18

1

A többit azért nem írom be, mert akkor már kétjegyű számokat kellene beleírnom, és úgy már nem lenne szép.

De ha még okosabbak vagyunk, akkor ezt sem kell végigzongoráznunk (de azért nem árt, ha gyakorlod, mert ha például "lyukas" azt ábra, akkor ezt kell használni). Ha ezt elforgatjuk, akkor a Pascal-háromszöget kapjuk:

[link]

Erről tudjuk, hogy soronként a számok összege 2^n (2 az n-edik hatványon, tehát 2*2*2*...*2, és ez n darab 2-es), ahol az első sor a 0. sor, a második az első, és így tovább.

Ez a feladat a Pascal-háromszög 8. soráig vezetne (ami a 0-s kezdéssel a 7-dik), vagyis abban a sorban a számok összege 2^7=128, tehát a HATODIKOS szót 128-féleképpen lehet kiolvasni.

b) Ez nem nehéz: 6 csillag van, mindegyik fajtából 2-2.

Első le a kalappal, gyönyörű levezetés. :)

Amúgy a kombinatorika már csak ilyen, hihetetlen számok tudnak kijönni eredménynek.

Egy zsákból 5 különböző színű golyót 120 különféle sorrendben tudsz kihúzni ha nem teszed vissza a golyókat.

6 golyót pedig már 720 féleképpen. Ez is hihetetlennek tűnik, vagy nem? :)

De, igazad van, elszámoltam; a HATODIKOS 9 betű, nem 8. Ebben az esetben a 9. sorig jutunk, ami a Pascal-háromszögben a 8. sor, tehát 2^8=256-féleképpen lehet kiolvasni.

De ha már a kombinatorikánál tartunk, akkor ezt is meg lehet oldani kombinatorikai módszerekkel, és akkor is 2^8 jön ki (ha majd tanuljátok, megérted, hogy miért).