Diff. Egyenlet, ezt mégis hogyan?

Szorozz be (3y-2x) -szel, majd vonj le 2y-t.

Ekkor: 3y^2=3x, tehát : y^2=x

Előbbi válasz nagyon bizarr és nem jó. Hová tűnt az y'?

Az y=xt helyettesítés célravezetőbbnek tűnik. Folyt. köv. Sz. Gy.

Ha a jobb oldalon egyszerűsítesz x-szel:

y' = (1+2y/x)/(3y/x-2)

ez pedig a tipikus

y' = f(y/x)

egyenlet

itt pedig a t = y/x helyettesítés szokott működni, és szétválaszthatóak lesznek a változók...

y = tx --> y' = t+x*dt/dx

és ezzel szétválasztható változójú lesz...

3-as:

az y'=y csak y=c*e^x esetben igaz, ezt pedig előre nem tudjuk, és ez esetben nem is teljesíti a diff. egyenletet.

(Gyanítom, nem tudod, mi az a diff.egyenlet...)

Tehát t=y/x helyettesítés után: y'=dy/dx=t+x*dt/dx.

Továbbá y' = (1+2y/x)/(3y/x-2) = (1+2t)/(3t-2)

x*dt/dx=(2t+1)/(3t-2)-t=(1+4t-3t^2)/(3t-2)

(3t-2)dt/(1+4t-3t^2)=dx/x után jöhet az integráció.

- LN(3·t^2 - 4·t - 1)/2 = LN(x) + c

x = e^(-c)/sqrt(3·t^2 - 4·t - 1)

Visszahelyettesítve y-ont és y-ra megoldva

Két megoldás adódik:

y=e^(-c)·sqrt(7·x^2·e^(2·c) + 3)/3 + 2·x/3

y=-e^(-c)·sqrt(7·x^2·e^(2·c) + 3)/3 + 2·x/3

Mindkét függv. kielégíti az eredeti de-et. Sz. Gy.

Nagyon egyszerű ez a példa, kapásból tudnék mondani 5-6 féle megoldást rá.

Az egyik, amit már említettek, ez egy ún. homogén egyenlet, azaz a t=y/x vagy a t=x/y helyettesítés szeparábilis egyenletbe viszi át, ez igazolható.

Egy másik megoldási lehetőség, igen könnyen egzakt diffegyenletté alakítható, uis. nem túl nehéz Euler-féle multiplikátort találni.

Még van több módszer is , de kevés az időm.

Igen, egzakttá is lehet alakítani.

dy/dx = (x+2y)/(3y-2x)

(3y-2x)dy = (x+2y)dx

(x+2y)dx + (2x-3y)dy = 0

Ez pedig egzakt.