Igazoljuk, hogy az x^3-x^2-2x+1 polinomnak három különböző valós gyöke van. Legyen ezek a, b, c. Írjuk fel azt a normált harmadfokú polinomot, amelynek gyökei a-1, b-1, c-1. ?

1. Bolzano-tételt kell csak használnunk; keresnünk kell 4 darab x-et, hogy azokra a polinom értékeinek előjelei váltakoznak (szerencsés esetben 0 lesz ez az érték). Az ilyennél érdemes táblázatot csinálni (vagy jól sakkozni x értékeivel), én most csak a jókat fogom leírni:

x=-2 esetén y=-7

x=-1 esetén y=1

x=1 esetén y=-1

x=2 esetén y=1

A Bolzano-tétel értelmében a polinomnak a [-2;-1], a [-1;1] és az [1;2] intervallumokon van gyöke. Mivel egy harmadfokú polinomnak legfeljebb 3 gyöke lehet, és ezeknek belőttük a környezetét, ezért biztos, hogy 3 valós gyöke van, amelyek különböznek egymástól.

2. Csak a gyöktényezős képletet kell használni;

(x-(a-1))*(x-(b-1))*(x-(c-1))=(x-a+1)*(x-b+1)*(x-c+1), ezt csak ki kell bontani (vagy használd a WolframAlpha-t, ahogy gondolod).

Igazoljuk, hogy az x^3-x^2-2x+1 polinomnak három különböző valós gyöke van.

legyen f(x)=x^3-x^2-2x+1, ennek a deriváltja f'(x)=3x^2-2x-2

A függvénynek helyi szélsőértékei vannak ott, ahol a derivált értéke nulla -> 3x^2-2x-2=0, ez 2 helyen van:

x1= (1-gyök(7))/3 illetve, x2= (1+gyök(7))/3

az eredeti függvény helyettesítési értéke x1-nél negatív, x2-nél pozitív, tehát x1 és x2 között kellett lennie zérushelyének, hiszen folytonos függvényről van szó.

válasszunk egy "nagy" negatív számot (pl -1000), itt az eredeti függvény helyettesítési értéke is egy "nagy" negatív szám, ezt játszd el a pozitív oldalon is.

A függvény folytonosságára hivatkozva ezekből következik, hogy 3 egymástól különböző zérushelye van a függvénynek.

(Szerintem nem ez a leghelyesebb megoldás, illetve ez csak egy folytonosság-vizsgálattal teljesértékű, de szerintem így is több mint a semmi)

Írjuk fel azt a normált harmadfokú polinomot, amelynek gyökei a-1, b-1, c-1. ?

(x-a+1)(x-b+1)(x-c+1), ha arról van szó, esetleg kibontod a zárójeleket.