Matekosok. Kaphatnék segítséget?

Már megkopott a tudásom, de most megpróbáltam utánajárni ezeknek a dolgoknak.

Azt találtam, hogy akkor lesz a vektorrendszered rangja minimális, ha lineárisan összefüggő.

Az első kettő vektor lineárisan független, ezért a rang 2 vagy 3 lehet. A 2-t keressük.

Ha a vektorrendszered lineárisan összefüggő, akkor létezik olyan a és b valós szám, amelyekre:

a * (2, -4, 1) + b * (-1, 3, 1) = (-3, x, 12)

Azaz:

2a - b = -3

-4a + 3b = x

a + b = 12

Adjuk össze az 1. és a 3. egyenletet:

2a - b + a + b = -3 + 12

3a = 9

a = 3

Helyettesítsünk be a 3.-ba:

3 + b = 12

b = 9

Helyettesítsünk be a 2.-ba:

-4 * 3 + 3 * 9 = x

x = 15

Ellenőrzés:

Ha x = 15, akkor a 3. vektor előáll az első kettő lineáris kombinációjaként (a = 3, b = 9).

Ezért a vektorrendszer által generált altér egy bázisa a {(2, -4, 1), (-1, 3, 1)} halmaz.

Ennek az elemszáma 2, tehát a generált altér dimenziója 2. Azaz a vektorrendszer ranga 2.

2-nél nem lehet kisebb a vektorrendszer rangja, mert az első 2 vektor lineárisan független, ahogy fentebb is írtam. Ez pedig azt jelenti, hogy a vektorrendszer által generált altér bázisa legalább 2-elemű.

-----

Én így csinálnám meg, szerintem a megoldás jó. A kérdés, hogy megfelel-e így megoldva.

(Őszintén szólva arra már nem emlékszem, hogy hogyan kellene megoldani. Ezért ötletem sincs, hogy te mit kezdtél el.)

Nagy utánajárás után belevágok Gauss-eliminációval is:

"Az R^n-beli vektorrendszer rangját meghatározhatjuk

Gauss-eliminációval.

- A vektorrendszer vektorait beírjuk egy mátrix soraiba.

- Gauss-eliminációt hajtunk végre a mátrixon.

- A lépcsős alakban szereplő nem-0 sorok száma adja meg a

vektorrendszer rangját."

[link] 29. dia

2, -4, 1

-1, 3, 1

-3, x, 12

-1, 3, 1

2, -4, 1

-3, x, 12

1, -3, -1

2, -4, 1

-3, x, 12

Eddig jutottál.

A 2. sorból kivonjuk az első sor 2-szeresét, a 3.-hoz hozzáadjuk az első sor 3-szorosát:

1, -3, -1

0, 2, 3

0, x-9, 9

A 3. sorból kívonjuk a második (x-9)/2 -szeresét:

1, -3, -1

0, 2, 3

0, 0, 9 - 3*(x-9)/2

Még egyszer: "A lépcsős alakban szereplő nem-0 sorok száma adja meg a

vektorrendszer rangját."

Ha megnézzük a kapott mátrixot, akkor látjuk, hogy az első 2 sor nem-0 sor, azaz a vektorrendszer rangja legalább 2. Ahhoz, hogy a rang minimális legyen, a 3. sornak 0-sornak kell lennie, azaz minden elemének 0-nak kell lennie.

Azaz:

9 - 3*(x-9)/2 = 0

9 = 3*(x-9)/2

18 = 3*(x-9)

6 = x-9

x = 15

Hűű, ez aztán szép :)

Megpróbálok segíteni.

1, -1, 2, 1

1, 0, 3, 0

2, -1, x+4, x^2-3x+3

-1, 4, x, x-6

1, -1, 2, 1

0, 1, 1, -1

0, 1, x, x^2-3x+1

0, 3, x+2, x-5

Itt nem vontad ki a 4. sorból a 2. sor 3-szorosát: (a 3. sorod jó)

1, -1, 2, 1

0, 1, 1, -1

0, 0, x-1, x^2-3x+2

0, 0, x-1, x-2

Tehát mindig venni kell a főelemet, és az alatta lévő sorokban ki kell nullázni a főelem alatti elemet. Így lehet meghatározni, hogy mekkora szorzót kell választani.

Pl.: az előző lépésben a főelem a 2. sor 2. eleme (1)

A 3. sor 2. eleme is 1, ezért a 3. sorból a 2. sor 1-szeresét kell kivonni.

A 4. sor 2. eleme 3, ezért a 4. sorból a 2. sor 3-szorosát kell kivonni.

Most a főelem az x-1.

A 4. sor 3. elem is x-1, ezért a 4. sorból a 3. sor 1-szeresét kell kivonni:

1, -1, 2, 1

0, 1, 1, -1

0, 0, x-1, x^2-3x+2

0, 0, 0, x-2 - (x^2-3x+2) = -x^2 + 4x - 4

Egy kis trükk:

x^2 - 3x + 2 = (x-1)*(x-2)

-x^2 + 4x - 4 = -(x^2 -4x + 4) = -(x-2)^2 = (x-2)*(2-x)

A vektorrendszer ranga a nem-0 sorok száma a Gauss-elimináció végén.

Az első 2 sor nem-0 sor, tehát a vr. rangja legalább 2. (És ugye legfeljebb 4 lehet 4 vektor esetén.)

Nézzük meg, mikor lesz 0-sor a 3. sor:

Ha x - 1 = 0 és x^2 - 3x + 2 = 0.

x-1 = 0 akkor és csak akkor, ha x = 1

x^2-3x+2 = 0 (ehhez vagy használod a másodfokú egyenlet megoldóképletét, vagy észreveszed a "trükköt") akkor és csak akkor, ha x = 1 vagy x = 2

Tehát a 3. sor akkor és csak akkor 0-sor, ha x = 1.

Nézzük meg, mikor lesz 0-sor a 4. sor:

Ha -x^2 + 4x - 4 = 0.

-x^2 + 4x - 4 = 0 (ehhez vagy használod a másodfokú egyenlet megoldóképletét, vagy észreveszed a "trükköt") akkor és csak akkor, ha x = 2.

Tehát a 4. sor akkor és csak akkor 0-sor, ha x = 2.

Három esetet kell megvizsgálni:

1. Ha x = 1, akkor a Gauss-eliminációval kapott mátrix a következő:

1, -1, 2, 1

0, 1, 1, -1

0, 0, 0, 0

0, 0, 0, -1

Tehát x = 1 esetén a vektorrendszer rangja 3.

2. Ha x = 2, akkor a Gauss-eliminációval kapott mátrix a következő:

1, -1, 2, 1

0, 1, 1, -1

0, 0, 1, 0

0, 0, 0, 0

Tehát x = 2 esetén is a vektorrendszer rangja 3.

3. Ha x != 1 és x != 2 (!= nem egyenlő), akkor a vektorrendszer rangja 4. Ugyanis ekkor a 3. és 4. sor sem 0-sor.