Integrálás. Kaphatnék segítséget?

Tagonként leosztasz e^x-el

[e^(x+1)-5*e^x+2]/e^x = e^(x+1)/e^x-5*e^x/e^x+2/e^x =

e - 5 +2*e^(-x)

Az első két tag konstans. Integrálja (e-5)*x

int 2*e^(-x) = [-2*e^(-x)]

Vagyis végeredmény

(e - 5)*x -2*e^(-x) + C

Ha helyettesítesz e^x = y-t, akkor x = ln(y), dy/dx = 1/y, és az integrál valami ilyesmi lesz:

int(3*sqrt(2*y + 4)) = 3*sqrt(2)*int((y + 2)^(1/2)).

Ezt pedig lényegében a polinomok integrálására vonatkozó szabállyal tudod integrálni.

Először a gyök(2*e^x+4)-ből kiemeljük a gyök(2)-t.

gyök(2)*gyök(e^x+2)

A konstansokat ki is lehet vinni az integrál elé.

3gyök(2) * INT e^x * gyök(e^x+2) dx

És most vedd észre, hogy

(e^x+2)^(3/2) deriváltja

(e^x+2)^(1/2)*e^x

Vagyis pont az, ami nekünk kell.

A végeredmény

3gyök(2) * (e^x+2)^(3/2) + C

Akkor én is befejezem a mechanikus megoldást:

3*sqrt(2)*int((y + 2)^(1/2)) = 3*sqrt(2) * 2/3*(y + 2)^(3/2) + C,

az y helyére e^x-et visszaírva a végeredmény:

2*sqrt(2)*(e^x + 2)^(3/2) + C.

> „(e^x+2)^(3/2) deriváltja (e^x+2)^(1/2)*e^x ”

Itt egy konstans szerintem elmaradt…

És ebből kifolyólag van itt 3-as az én 2-esem helyett (vagy csak egy másik elírás):

> „A végeredmény 3gyök(2) * (e^x+2)^(3/2) + C”

*A 2*sqrt(2) éppen 2^(3/2), így be lehet vinni a zárójel alá, tehát a végeredmény kicsit szépíthető:

2*sqrt(2)*(e^x + 2)^(3/2) + C = (2*e^x + 4)^(3/2) + C.

(Tegnap, mikor magamnak gondoltam végig, eszembe jutott, csak mikor írtam, nagyon kába voltam.)