Hogyan kell megadni egy fügvény monotonítását, zérushelyét, szélsőértékét, értelmezési tartományát, értékkészletét?

A zérushely az, ahol az X tengelyt "keresztezi" a függvény. Pl. ha 3-nál halad el és a -2-nél, akkor 3 és -2.

Monotonitás: [link] Itt pl. a-tól b-ig szigorúan monoton csökken.

Szélső értékek. x és y tengelyen nézzük. A szélső értékeknek van minimuma és maximuma, a függvényértékeket nézed az x és y tengelyen, azok közül a legkisebbet és a legnagyobbat.

Értelmezési tartomány: x értékei pl: x eleme R-nek

Értékkészlet: y értékei pl: y>3

a szigorúan monoton csökkenés, vagy növekvés az az amikor CSAK növekszik vagy csökken. ez csak simán monoton csökkenés.

a zérushelyet, ha nem lehet leolvasni egyértelműen az ábráról akkor úgy lehet megtalálni, hogy megoldod az egyenletet 0-ra pl x^2+4x-3=0

ha olyan ronda alakban van megadva a függvény mint amit írtam, és neked fel kell rajzolni akkor át is kell alakítani valami (x+2)^2-höz hasonló alakba a feljebbi példám pl úgy nézne ki, hogy (x+2)^2-7 (ugyebár (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (az a -7 azért van ott, mert ugyebár +4-ből -3at csak 7 kivonásával lehet csinálni)

a szélső érték az olyan, hogy ránézel a képre, és ahol látod, hogy maximuma van, vagy minimuma van azt feltünteted.

értelmezési tartomány: melyik x értékekre igaz. a legtöbb az x eleme R-nek, de pl az 1/xnél azt is bele kell venni, hogy x nem egyenlő 0

az értékkészlet, pedig az, hogy melyik y tengelyen lévő számokra lehet igaz a függvény. ez is lehet y eleme R-nek, de sokszor van olyan, hogy mást kell megadni, mint pl a szinusz függvény esetében.

Az értelmezési tartományra szerintem nem túl jó válaszok születtek. Ez a definíció:

Egy f függvény értékek egy H halmazának – melyet az f értelmezési tartományának nevezünk – minden egyes x eleméhez egyetlen y kimeneti értéket rendel.

Amelyik függvényre ez a feladat gondol, ott H valóban részhalmaza lesz R-nek. Megadni pedig úgy kell hogy megnézed hogy melyik valós számhoz fog egyáltalán tartozni valami. Ahogy említették feljebb, az 1/x például az R\{0} lesz a H halmaz. De például az x^2+y^2=4 csak a [-2,2] számokon van értelmezve -- például x=3 -hoz nem találsz olyan y-t amire teljesülne.

Miután meghatároztad az értékkészletet már csak meg kell nézni minden egyes pontra hogy mi lesz a függvény értéke, ez az értékkészlet. Természetesen végtelen sok pontra ez kicsit sokáig tartana :) de szerencsédre amivel találkozol azt mind egyszerű megoldani.

Szinte minden matematikai problémát át lehet fogalmazni függvények nyelvére. Például kedvenc Goldbach sejtésem, ami azt mondja hogy minden kettőnél nagyobb páros szám előáll két prímszám összegeként úgy lehet átírni hogy legyen az értékkészlet a kettőnél nagyobb páros szám, a függvény értéke az N pontban annak a minimuma hogy hány prím összegeként lehet N-t felírni. A sejtés azt állítja hogy ennek a függvénynek az értékkészlete a {2} de ezt nem tudjuk egyelőre bizonyítani.