Hogyan határozom meg ennek a függvénynek a monotonitását?

A fuggveny derivaltja: f'(x) = e^(e^x+x)*(e^x+1)

Az elso tag nem lehet zero, a masodik tag viszont igen, es akkor az van, hogy e^x+1 = 0, amibol kovetkezik, hogy

x=ln(-1)=i*pi

Facepalm…

A monotonitáshoz nem feltétlen kellenek a derivált zérushelyei, legfeljebb az előjele. (És ne felejtsd el, hogy ez egy összetett függvény.)

Azt meg pláne nem értem, hogy hogyan lehet a monotonitáshoz keverni a komplex függvényeket, mikor a komplexek felett nincs rendezés…

Természetesen van megoldás, nem szükséges zérushelynek lennie. az f(x)= x függvény deriváltja konstans 1, nincs zérushely, mégis szig. monoton növő, nemde? :D

Függvényt lederiválod, megkapod, hogy: e^((e^x)+x)*(e^x+1)

(Összetett függvény deriválásánál mindig lederiválod a külső függvényt, majd azt megszorzod a belső fv deriváltjával, ezt ne felejtsd el.)

Hogy a fv milyen intervallumokon monoton növő illetve fogyó, azt a derivált függvény értéke dönti el, hol pozitív, hol negatív. Erre a zérushely(ek) megkeresése a célszerű, hiszen ott mehet végbe előjelváltás, ott változhat a függvény monotonitása. A deriváltfüggvényed egy szorzat, egyik tagja e^(e^x+x), másik tagja e^x+1.

Az első tagnál rögtön látszik, hogy ez soha nem lesz nulla, hisz e^x>0 minden x esetében. A jobboldalon azt látjuk, hogy e^x+1=0 ha e^x=-1. De mivel e^x>0, ezért e^x+1>1, sem teljesülhet. Ebből mi következik? Nincs zérushely, nincs előjelváltás, a függvény a teljes tartományán egy irányba monoton. Méghozzá mivel a deriváltfüggvény minden x esetén pozitív, így az f függvény monoton növő a teljes értelmezési tartományán.