Egy számtani sorozat hanyadik eleme az ami csupa kettesekből áll?

ezek:

17.

17094017.

17094017094017.

17094017094017094017.

...

17094017094017094017094017094017094017.

Eggyel nagyobbak lesznek azok...

A sorozat k-adik tagja:

S(k) = 1 + (k-1)·13

= 13k - 12

Az n darab csupa 2-esből álló számot így írhatjuk fel:

(10^n - 1)·2/9

13k - 12 = (10^n - 1)·2/9

9·13k - 108 = 2·10^n - 2

9·13k = 2·10^n + 106

9·13k/2 = 10^n + 53

Mindkét oldalon egész szám van, ezért k páros kell legyen, 10^n+53 pedig osztható kell legyen 9-cel is meg 13-mal is. Az összes ilyen tulajdonságot adó n megoldás lesz, a k értéke pedig 2·(10^n + 53)/(9·13)

- 9-cel tetszőleges n≥0 esetén osztható, mert 10^n+53 számjegyeinek az összege mindig 9.

(Egyébként n≥2, mert legalább 9·13=117-nek kell lennie a jobb oldalnak.)

- 13-mal való oszthatóság:

4·13= 52

Tehát 10^n+1 is osztható kell legyen 13-mal.

Tudjuk, hogy 1001 = 77·13, tehát n=3 megoldás lesz.

A többi megoldás:

10^n + 1 = 10^(n-3)·1001 - 10^(n-3) + 1

vagyis akkor osztható 13-mal, ha 10^(n-3) - 1 osztható.

999 999 = 76 923 · 13, tehát n-3=6 is megoldás.

10^n + 1 = 10^(n-6)·(10^6-1) + 10^(n-6) + 1

Ami akkor osztható 13-mal, ha 10^(n-6) + 1 osztható.

Tudjuk, hogy n-6=3 megoldás, de könnyen belátható, hogy minden 6-tal nagyobb is.

Vagyis az összes n = (3 + 6·m) alakú n-hez tartozó k megoldás lesz, ahol m≥0 egész.

n=3 → k=18

n=9 → k=17094018

n=15 → k=17094017094018

stb.