Hogyan oldanatok meg V. osztalyban: xy+x+y=14, illetve xy+x+2y=4?

Én kivonnám egymásból a két egyenletet…

Ugye egy egyenlet két oldalából szabad ugyanazt a dolgot elvenni, és mivel az xy + x + y az első egyenlet szerint ugyanaz, mint a 14, így ki lehet vonni a másik egyenlet baloldalából (xy + x + y)-t, a jobb oldalából meg 14-et, mert úgy is igaz marad.

Ezt reményeim szerint egy ötödikes is megérti.

xy+x+y=14

xy+x+2y=4

vonjuk ki a felsőből az alsót xy és x kiesik

-y=10

y=-10 visszahelyettesítjük az y-ont

-10x+x-10=14

-9x-10=14

-9x=24

x=-8/3

Hidd el, hogy sokat tudnánk segíteni, ha normálisan, a teljes szövegével leírnád a feladatot…

Ha csak külön egyenletek, akkor mondjuk megoldhatjuk őket y-ra:

(x + 1)*y + x = 14,

y = (14 – x)/(x + 1).

Ha például x és y csak pozitív egész számok lehetnek, akkor a számláló miatt x < 14, így 13 lehetőséget végigpróbálgatva megkapjuk a megoldást a pozitív egészek körében.

(((Másrészt hirtelen nem tudok elképzelni olyan feladatot ezekhez, amiben deriválni kéne, szóval nem értem, mire gondolsz.)))

> „Differencial egyenletekkent derivalassal megoldhatoak.”

Erre kíváncsi vagyok, ha nem haragszol, mert ez nekem új.

> „Adjatok meg x es y erteket N-ben: a) xy+x+y=14.”

Akkor először rendezzünk y-ra:

(x + 1)*y + x = 14,

y = (14 – x)/(x + 1).

Most az a feladat, hogy olyan nem negatív egész (N-beli) x számot találjunk, ami mellé y is, azaz (14 – x)/(x + 1) is egész. Mivel x nem negatív, ezért a nevező pozitív, így a számlálónak is nem negatívnak kell lennie, ami csak úgy lehet, ha 14 – x ≥ 0, x ≤ 14. Így x már csak 15-féle lehet, amit nem nehéz végigpróbálgatni, van-e ilyen:

x = 0: y = 14 OK. (Tulajdonképpen készen is vagyunk a feladattal, mert mutattunk olyan N-beli számokat, amikre ez teljesül. A feladat szerint csak akkor kéne végig menni minden lehetőségen, ha bizonyítani akarnánk, hogy nincs, de így 1 találat után megállhatunk. Amúgy:)

x = 1: y = 13/2 NEM JÓ.

x = 2: y = 4 OK. (Arra az esetre, ha 0 nem számít N-belinek.)

x = 3: y = 11/4 NEM JÓ.

x = 4: y = 2 OK.

x = 5: y = 3/2 NEM JÓ.

x = 6: y = 8/7 NEM JÓ.

x = 7: y = 7/8 NEM JÓ.

…

Most gyorsíthatunk kicsit, mert látszik, hogy y monoton csökken, és az egynél kisebb számok közül már csak 1 van, ami jó lehet y-nak, a 0. Ezt helyettesítve az eredeti egyenletbe:

x*0 + x + 0 = x = 14.

Ez azt jelenti, hogy az

x = 14: y = 0 az utolsó OK megoldás.

Hasonlóan a b) részben:

(x + 2)*y + x = 4,

y = (4 – x)/(x + 2),

4 – x ≥ 0, x ≤ 4.

x = 0: y = 2 OK.

x = 1: y = 1 OK.

x = 2: y = 1/2 NEM JÓ.

x = 3: y = 1/4 NEM JÓ.

x = 4: y = 0 OK.

Mivel – még egyszer hangsúlyozom – a feladat csak egy N-beli megoldást kér, ezért még a szisztematikus próbálgatásra sincs szükség, elég ügyesen ráhibázni egy (x, y) párra, nem kell megtalálni az összes megoldást. Oszthatóságot is szabad használni.